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0. 前言
随机游走
1. 概念
1.1 例1
在你的饮食俱乐部度过了一个富有成效的晚上后#xff0c;你在不太清醒的状态下离开了。因此#xff0c;你会醉醺醺地在展…every blog every motto: You can do more than you think. https://blog.csdn.net/weixin_39190382?typeblog
0. 前言
随机游走
1. 概念
1.1 例1
在你的饮食俱乐部度过了一个富有成效的晚上后你在不太清醒的状态下离开了。因此你会醉醺醺地在展望大道上闲逛。首先你可能会随机向右走一步。然后忘记你在哪里你可能会向左转一步。完全迷失了方向你又随机迈出了一步…例如对于一些步骤您可能最终会像这样走 让我们把它当作一个随机过程来建模。饮食俱乐部的位置是S_0(你在零步后的初始位置)。在第k步中移动的量为 X k X_k Xk可以是正的也可以是负的(取决于向左还是向右移动)。n步后的位置 S n S_n Sn由 S n S 0 x 1 . . . X n S_n S_0x_1...X_n SnS0x1...Xn
当你喝醉的时候你会完全忘记你每走一步都在哪里。因此我们对步骤 X 1 X_1 X1, X 2 X_2 X2…进行建模。为独立同分布(i.i.d)随机变量与初始位置 S 0 S_0 S0无关。这给了我们第一个随机漫步的例子
1.2 例2
假设你和你的朋友玩下面的游戏。在每一轮中每个玩家下注1美元并独立地投掷一枚均匀硬币。如果硬币正面朝上那么你赢了也就是说你拿回你的1美元同时你也得到你朋友的1美元。如果硬币反面出现那么你的朋友就赢了钱。你反复玩这个游戏直到你们中的任何一个人决定是时候减少损失了
为了将你在游戏中的财富建模为一个随机过程让我们假设你以50美元的初始财富开始游戏。请注意你在每一轮的净收益是1或1。让Xi成为你在第i轮的净收益。因为硬币是公平的你输或赚1美元的概率是一样的 P ( X i 1 ) P ( X i − 1 ) 1 2 P(X_i 1) P(X_i-1) \frac{1}{2} P(Xi1)P(Xi−1)21
我们假设 S 0 S_0 S0, X 1 X_1 X1, X 2 X_2 X2…是独立的。因此第n轮之后的财富 S n S_n Sn由, S n S 0 x 1 . . . X n S_n S_0x_1...X_n SnS0x1...Xn
一个可能的结果如下 在这两个例子中我们从起始点S0开始制作了一系列独立同分布(i.i.d)步骤 X k X_k Xk。这样的过程被称为随机漫步。在第二个例子中随机漫步只产生大小为1的步的情况特别重要;这叫做简单随机漫步。
1.3 定义
定义如下
随机游走 S n , n ≥ 0 {S_n},n\geq0 Sn,n≥0为随机过程 S n S 0 x 1 . . . X n S_n S_0x_1...X_n SnS0x1...Xn 其中 X 1 , X 2 , . . . X_1,X_2,... X1,X2,...是独立同分布(i.i.d)随机变量与 S 0 S_0 S0无关。
2. 边界
2.1 会达到边界吗
我们必须研究的第一个问题是随机漫步是否真的会碰到边界 { a , b } \{a, b\} {a,b}也就是说是否 T ∞ T \infin T∞ 。当然到达边界的概率原则上可能取决于起始点S0。因此让我们引入函数: f ( i ) : P ( T ∞ , S 0 i ) , a ≤ i ≤ b f(i) : P(T\infin, S_0i) , \qquad a\leq i \leq b f(i):P(T∞,S0i),a≤i≤b
也就是说 f ( i ) f(i) f(i) 是我们从未碰到边界a或b中的任何一个的概率 (换句话说随机漫步永远严格地停留在这两个边界之间)假设我们从点 S 0 i S0 i S0i 开始。我们想要计算这些概率。为此我们将引入一个非常有用的工具来研究随机漫步的行为:第一步分析(the first-step analysis)
让我们首先解释一下第一步分析背后的思想。假设我们从点 a i b a i b aib严格地在边界之间开始。那么我们能到达边界的最早时间是在随机漫步的一步之后。此外由于这是一个简单的对称随机漫步在一步之后我们可能到达的位置只有两个每个位置出现的概率都是相等的: 因为随机漫步的每一步都是独立同分布的所以随机漫步在每一步之后都会在当前位置重新开始。举个例子如果在第一步中我们从 i → i 1 i \rightarrow i1 i→i1开始那么从这一点开始随机漫步就像从i1开始的随机漫步一样。特别地第一步是 i → i 1 i \rightarrow i 1 i→i1那么之后不到达边界的概率是f (i 1)对于其他可能的步骤也是如此 如图我们可以得到 f ( i ) P ( T ∞ ∣ S 1 i 1 , S 0 i ) P ( S 1 i 1 ∣ S 0 i ) P ( T ∞ ∣ S 1 i − 1 , S 0 i ) P ( S 1 i − 1 ∣ S 0 i ) f(i) P(T\infin|S_1i1, S_0i)P(S_1i1|S_0i)P(T\infin|S_1i-1, S_0i)P(S_1i-1|S_0i) f(i)P(T∞∣S1i1,S0i)P(S1i1∣S0i)P(T∞∣S1i−1,S0i)P(S1i−1∣S0i)
其中 P ( S 1 i 1 ∣ S 0 i ) 1 2 P ( S 1 i − 1 ∣ S 0 i ) 1 2 P(S_1i1|S_0i) \frac{1}{2} \qquad \qquad P(S_1i-1|S_0i) \frac{1}{2} P(S1i1∣S0i)21P(S1i−1∣S0i)21
同时有 P ( T ∞ ∣ S 1 i 1 , S 0 i ) f ( i 1 ) P ( T ∞ ∣ S 1 i − 1 , S 0 i ) f ( i − 1 ) \begin{align} P(T\infin|S_1i1, S_0i)f(i1) \\ P(T\infin|S_1i-1, S_0i)f(i-1) \end{align} P(T∞∣S1i1,S0i)f(i1)P(T∞∣S1i−1,S0i)f(i−1)
因此 f ( i ) 1 2 f ( i 1 ) 1 2 f ( i − 1 ) , a i b f(i) \frac{1}{2}f(i1)\frac{1}{2}f(i-1),\qquad a i b f(i)21f(i1)21f(i−1),aib
另一方面假设我们从S0 a或S0 b开始那么我们一开始就已经从边界开始了所以我们从未到达边界的概率为零。特别地这意味着f (a) f (b) 0。因此我们的第一步分析使我们得到以下等式 { f ( i ) 1 2 f ( i 1 ) 1 2 f ( i − 1 ) , a i b f ( a ) f ( b ) 0 \begin{cases} f(i) \frac{1}{2}f(i1)\frac{1}{2}f(i-1),\qquad a i b \\ f(a)f(b)0 \end{cases} {f(i)21f(i1)21f(i−1),aibf(a)f(b)0
通过变换方程我们知道f(i)位于f(i-1)和f(i1)中间位置。同时在一条直线上。 所以f(i)是直线。又,f(a)f(b)0可得f(i)0 P ( T ∞ ∣ S 0 i ) 0 , f o r a l l a ≤ i ≤ b P(T\infin|S_0i)0, \qquad for all a \leq i \leq b P(T∞∣S0i)0,foralla≤i≤b
所以随机漫步最终总是到达a或b而不管它的起点是什么。
2.2 会达到哪一个边界
既然我们知道我们最终总会碰到边界a或b中的一个我们可能想知道我们先碰到哪一个?例如在赌博问题中 T ∞ T \infin T∞表示你最终要么赢得100美元要么破产。在实践中您可能对这些结果中哪一种更有可能发生非常感兴趣。
为了深入了解这个问题让我们用数学术语来表达它。在我们到达a或b的第一时间T值 S T S_T ST显然必须是a或b。我们感兴趣的是计算 S T b S_T b STb的概率比如(在这种情况下随机行走在到达a之前到达b)。由于这个概率可能再次取决于我们开始随机行走的位置让我们定义这个函数 r ( i ) : P ( S T b ∣ S 0 i ) r(i) : P(S_Tb|S_0 i) r(i):P(STb∣S0i)
为了计算r(i)我们可以再次使用第一步分析。如果a i b那么一步之后我们可以最早到达其中一个边界。一步之后我们在i 1或i -1处的概率相等在a之前到达b的概率分别由r(i 1)和r(i - 1)给出。正如上文所述我们因此发现 r ( i ) 1 2 r ( i 1 ) 1 2 r ( i − 1 ) , a i b r(i) \frac{1}{2}r(i1)\frac{1}{2}r(i-1), \qquad a i b r(i)21r(i1)21r(i−1),aib
这里不同的是边界条件。在这种情况下如果我们从S0 b开始那么我们显然会在a之前到达b(因为我们已经从b开始了!)所以r(b) 1。另一方面如果S0 a那么显然a在b之前所以r(b) 0。因此我们得到以下线性方程 { r ( i ) 1 2 r ( i 1 ) 1 2 r ( i − 1 ) , a i b f ( a ) 0 , f ( b ) 1 \begin{cases} r(i) \frac{1}{2}r(i1)\frac{1}{2}r(i-1),\qquad a i b \\ f(a)0, \quad f(b)1 \end{cases} {r(i)21r(i1)21r(i−1),aibf(a)0,f(b)1
同样我们可以通过变换方程将r(i)表示为一条直线。同时r(a)0,r(b)1,如下 最终公式如下 P ( S T b ∣ S 0 i ) r ( i ) i − a b − a , a ≤ i ≤ b P(S_Tb|S_0i) r(i) \frac{i-a}{b-a}, \qquad a \leq i \leq b P(STb∣S0i)r(i)b−ai−a,a≤i≤b
我们越接近b我们越有可能在a之前碰到b而我们越接近a我们越有可能在b之前碰到a这和直觉上一致。
上面的赌博游戏直到你破产或达到100美元的财富。让它成为游戏结束的时间。我们已经证明了 T ∞ T \infin T∞(游戏最终结束)你获得100美元的概率是: P ( S T 100 ∣ S 0 i ) i 100 , 0 ≤ i ≤ 100 P(S_T100|S_0i) \frac{i}{100}, \quad 0 \leq i \leq 100 P(ST100∣S0i)100i,0≤i≤100
即如果你开始有i美元你最终有100美元的概率是i/100。
让我们计算一下期望 E ( S T ∣ S 0 i ) 0 ∗ P ( S T 0 ∣ S 0 i ) 100 ∗ P ( S T 100 ∣ S 0 i ) i E(S_T|S_0i) 0*P(S_T0|S_0i)100*P(S_T100|S_0i) i E(ST∣S0i)0∗P(ST0∣S0i)100∗P(ST100∣S0i)i
最终你的拥有的钱和初始状态一样。
