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我原本后面打算用李沐老师那本《动手学深度学习》继续“抄书”#xff0c;他们团队也免费提供了电子版(https://zh-v2.d2l.ai/d2l-zh-pytorch.pdf)。但书里涉及到代码#xff0c;一方面展示起来不太方便#xff0c;另一方面我自己也有很多地方看不太懂。
这让我开始思…前言
我原本后面打算用李沐老师那本《动手学深度学习》继续“抄书”他们团队也免费提供了电子版(https://zh-v2.d2l.ai/d2l-zh-pytorch.pdf)。但书里涉及到代码一方面展示起来不太方便另一方面我自己也有很多地方看不太懂。
这让我开始思考起我“抄书”的意义了。如果都是文字我感觉抄起来可以加深印象在抄的同时理解并思考。
但是如果涉及到代码我没办法在抄的时候就能理解就能很顺畅地把代码解释出来。需要自己先去调试一遍才能心安理得地介绍起来。
于是我开始停止自己看书打算先去看看视频。土堆的视频先从加载数据讲起然后是 TensorBoard我感觉和前面学到的训练/测试什么的根本没关系也不知道为什么要讲这些就听不下去了想着先去看看实操。
然后我到看刘二大人的教程他先讲线性模型和梯度下降等等的原理再上代码实操看起来就比较舒服。我把他的代码自己敲了一遍虽说能跑起来但还是存在很多疑惑。
控制台不停地打印着训练轮数和损失看起来有点样子但是不直观。我想着要是能把训练过程中的 loss 作图出来就好。虽说可以利用 python 的作图包绘制但我感觉应该会有专门的工具来实现。
我上网搜了下发现 pytorch 就自带了 tensorboard 这个工具可以可视化训练过程。哎这不就是土堆视频里讲的那个么。我就又老老实实去看土堆的视频了。
经过这些过程我早已经变得很挫败甚至感觉自己不是学这个的料。东看一点西看一点最后还是回到了李沐老师的书上。
我感觉自已经走了很多弯路《动手学深度学习》这本书里最前面一章就是介绍预备知识我嫌繁琐跳过没看直接看后面的内容但我又看不懂又要倒回去重新看预备知识这样就会产生很多挫败情绪。
虽说经过这几天折腾隐隐约约学到了一些东西但显然是划不来的。我以后就老老实实跟着李沐老师先认认真真搞懂基础的几个模型不去担心可能学了以后用不到之类的问题之后再重点看看自己导师研究的方向。
下面我们从线性回归开始先介绍它的关键思想然后手动实现它体会这一过程再借助 pytorch 来实现。
通过对比这两种方式可以更好地理解 pytorch 的用法。
一、线性回归关键思想
回归(regression)是能为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的一类方法。在自然科学和社会科学领域回归经常用来表示输入和输出之间的关系。
线性回归(linear regression)指输入 x \pmb{x} x 和输出 y y y 之间的关系是线性的即 y y y 可以表示为 x \pmb{x} x 中元素的加权和如下式 y w 1 ⋅ x 1 w 2 ⋅ x 2 b . yw_1\cdot x_{1}w_{2}\cdot x_{2}b. yw1⋅x1w2⋅x2b. 其中 w 1 w_{1} w1 和 w 2 w_{2} w2 称为权重其决定了每个 x x x 对 y y y 的影响 b b b 称为偏置(bias)。
偏置是指当所有 x x x 都取 0 时输出值应该为多少。如果没有偏置项模型的表达能力将受到限制。
给定一个数据集我们的目标是寻找模型的权重 w \pmb{w} w 和偏置 b b b使得根据模型做出的预测大体符合真实情况。
在开始寻找最好的模型参数(model parameters)前我们还需要两个东西
一种模型质量的度量方式怎么判断这个模型好不好一种能够更新模型以提高模型质量的方法。如果模型质量不太行怎么提高
损失函数模型质量度量方式
损失函数(loss function)能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。通常我们会选择非负数作为损失且数值越小表示损失越小。
回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。 可以想想我们以前学直线拟合时的最小二乘法。 随机梯度下降提高模型质量方法
梯度下降(gradient descent)通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。
其最简单的方法是计算损失函数所有样本的损失均值关于模型参数的导数。但实际中的执行可能会非常慢
因为在每一次更新参数前我们必须遍历整个数据集。因此我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本这种变体称为小批量随机梯度下降(minibatch stochastic gradient descent)。
在每次迭代中我们首先随机抽样一个小批量 B B B它是又固定数量的训练样本组成。然后我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数。最后我们将梯度乘以一个预先确定的正数 η \eta η并从当前参数的值中减掉。
总结起来算法的步骤为
初始化模型参数从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数并不断迭代这一步骤。
正态分布与平方损失
正态分布和线性回归之间的关系很密切。正态分布(normal distribution)也称为高斯分布(Gaussian distribution)最早由德国数学家高斯(Gauss)应用于天文学研究。
简单地说若随机变量 X X X 具有均值 μ \mu μ 和方差 σ 2 \sigma^2 σ2其正态概率密度函数为 p ( x ) 1 2 π σ 2 exp ( − 1 2 σ 2 ( x − μ ) 2 ) . p(x)\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\bigg(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\bigg). p(x)2πσ2 1exp(−2σ21(x−μ)2). 正态分布的可视化图像如下图所示。改变均值会产生沿 x x x 轴的偏移增加方差将会分散分布、降低其峰值。 均方误差损失函数可以用于线性回归的一个原因是我们假设了观测中包含噪声其中噪声服从正态分布。
在高斯噪声的假设下最小化均方误差等价于对线性模型的极大似然估计。
二、线性回归的从零开始实现
导入的包有
import random
import torch
import matplotlib.pyplot as plt生成数据集
我们可以自己用带有噪声的线性模型生成一系列数据通过优化算法不断减小损失最终尽可能恢复用来生成数据的参数。
例如用 y 2 x 1 − 3.4 x 2 4.2 ϵ y2x_1-3.4x_24.2\epsilon y2x1−3.4x24.2ϵ 来生成一系列数据点其中 ϵ \epsilon ϵ 服从均值为 0标准差为 0.01 的正态分布。
为提高计算性能我们可以用矩阵进行表示即 [ y 1 y 2 ⋮ y n ] [ x 1 x 2 x 1 x 2 ⋯ ⋯ x 1 x 2 ] n × 2 [ 2 − 3.4 ] 4.2 ϵ \begin{bmatrix} y_1 \\\ y_2 \\\ \vdots \\\ y_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 x_2 \\\ x_1 x_2 \\\ \cdots \cdots \\\ x_1 x_2 \end{bmatrix}_{n\times 2} \begin{bmatrix} 2 \\\ -3.4 \end{bmatrix}4.2\epsilon y1 y2 ⋮ yn x1 x1 ⋯ x1x2x2⋯x2 n×2[2 −3.4]4.2ϵ 后面两项常数项可以看成 n × 1 n\times1 n×1 的矩阵由于张量具有广播机制可以直接相加。
生成数据并可视化 y y y 与 x 2 x_2 x2 关系的代码如下
import torch
import matplotlib.pyplot as pltnum_samples 1000 # 生成的数据点个数
# 原模型的两个参数
w_true torch.tensor([2, -3.4])
b_true 4.2
# 设置随机种子方便验证和复现
random_seed 326
torch.manual_seed(random_seed)
# 随机生成自变量
X torch.randn((num_samples, len(w_true)))
# 生成不含噪声的 y
y torch.matmul(X, w_true) b_true
# 生成带有噪声的y
y torch.normal(0, 0.01, y.shape)
# 绘制数据点看看长什么样
# 自变量有两个只绘制一个自变量与y的关系
plt.scatter(X[:, 1], y)
plt.show()为提高代码的复用性可以把生成数据的部分封装成一个函数这样如果要生成其他参数的数据时就更加方便。后续很多代码都会尽量用函数的形式表达。
# 生成数据集
def generate_data(num_samples, w, b):# 随机生成自变量x torch.randn((num_samples, len(w)))# 生成不含噪声的 yy torch.matmul(x, w) b# 生成带有噪声的yy torch.normal(0, 0.01, y.shape)print(y.shape)return x, y.reshape((-1, 1))读取数据
如果我们采用小批量随机梯度下降作为优化算法需要读取数据集并每次抽取一小批。
我们采用随机抽取的方式即需要将数据集的样本打乱。编写的读取数据函数如下
def load_data(batch_size, features, labels):num_examples len(features)indices list(range(num_examples))# 打乱索引顺序random.shuffle(indices)# 每次都返回一个小批量样本for i in range(0, num_examples, batch_size):batch_indices torch.tensor(indices[i: min(i batch_size, num_examples)])yield features[batch_indices], labels[batch_indices]初始化参数
我们得先有一个最初的参数放进去这样才可以去改进。如果这个初始参数选的好可能很快就接近真实参数了。
初始权重 w 我们采用均值为 0标准差为 0.01 的正态分布随机数偏置 b 初始设为 0。
w torch.normal(0, 0.01, size(2,1), requires_gradTrue)
b torch.zeros(1, requires_gradTrue)requires_gradTrue表示需要对这些参数进行梯度的计算。
模型的定义
想想之前学过的拟合可以用线性拟合也可以用二次曲线拟合都是为了将输入与输出关联起来。
可以把模型理解为一个函数把输入放进去可以得到一个输出。我们通过对原始数据的可视化分析选取线性模型。
# 定义模型
def my_linear(x, w, b):# 线性模型return torch.matmul(x, w) b损失函数
采用平方损失函数来衡量模型好坏。注意需要对 y 使用 reshape存在行向量与列向量的区别。
# 定义损失函数
def my_loss(y_hat, y):# 平方损失函数y_hat为模型预测值# 这里reshape是因为读取出来的y是行向量而预测值为列向量return (y_hat - y)**2 / 2优化算法
采用小批量随机梯度下降算法进行优化。对参数进行更新并清零梯度。
# 定义优化器
def my_optimizer(params, lr, batch_size):小批量随机梯度下降with torch.no_grad(): # 以下操作不计算梯度for param in params:param - lr * param.grad / batch_sizeparam.grad.zero_()训练模型
训练是一个反复的过程从初始的模型参数出发计算其预测值与损失随后进行反向传播得到损失函数对各个参数的梯度最后利用优化算法对参数进行更新转入下一轮训练。
学习率lr和训练轮数num_epochs是两个非常重要的超参数需要反复试验不断调整以获得较好的训练效果。
# 小批量的大小
batch_size 10
# 学习率和训练轮数
lr 0.03
num_epochs 3# 开始训练
for epoch in range(num_epochs):for x, y in load_data(batch_size, features, labels):l my_loss(my_linear(x, w, b), y) # X和y的小批量损失# 因为l形状是(batch_size,1)而不是一个标量。# l中的所有元素被加到一起并以此计算关于[w,b]的梯度l.sum().backward()my_optimizer([w, b], lr, batch_size) # 使用参数的梯度更新参数with torch.no_grad():train_l my_loss(my_linear(features, w, b), labels)# 打印出每轮训练的损失print(fepoch {epoch 1}, loss {float(train_l.mean()):f})# 评估训练效果
print(fw的估计误差: {w_true - w.reshape(w_true.shape)})
print(fb的估计误差: {b_true - b})从打印出的结果可以发现第一轮训练后的损失已经比较小了且每轮训练后损失都在减小。最终得到的两个参数非常接近于我们用于生成数据的参数了。
epoch 1, loss 0.041334
epoch 2, loss 0.000153
epoch 3, loss 0.000048
w的估计误差: tensor([4.0889e-05, 1.1015e-04], grad_fnSubBackward0)
b的估计误差: tensor([0.0004], grad_fnRsubBackward1)需要注意的是我们不应该认为我们能完美地恢复参数我们更关心如何高度准确预测参数。
三、线性回归的简洁实现
下面我们利用 pytorch 来实现线性回归模型它可以帮助避免一些重复性的工作。需要导入的包有
import torch
from torch.utils import data
from torch import nn生成数据集
与从零实现同样我们需要先有一个数据集。由于线性模型所需要的数据较为简单可以自己生成。
我们采用前面写好的生成数据函数利用随机种子生成一个相同的数据集。
读取数据集
pytorch 提供了 DataLoader 供我们进行数据读取我们只需要传入相应格式的数据传入参数batch_size和shuffle的值就可以得到一个随机小批量数据迭代器。
def load_data(data_arrays, batch_size, is_trainTrue): # 读取数据构造一个PyTorch数据迭代器dataset data.TensorDataset(*data_arrays)return data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffleis_train)定义模型
在从零实现中我们明确定义了线性模型的参数并编写了内部进行计算的代码。如果模型的计算变得复杂并且每天需要经常使用时我们就会考虑对这一过程进行简化。
我们可以使用 pytorch 预先定义好的“层”这样我们就只需要关注使用哪些层来构建我们的模型而不用去关注怎么实现这个层。
我们首先定义一个模型变量 net它是一个 Sequential 类的实例。Sequential 类可以将很多个层串联在一起。
当给定输入数据时net 将数据传入第一层然后将第一层的输出作为第二层的输入以此类推。
线性回归可以看作一层的神经网络实际上是不需要使用 Sequential 的。但由于以后使用的模型都会是很多层的在这里使用 Sequtntial 可以帮助我们理解。 上图中它的每一个输入都通过矩阵-向量乘法得到它的输出被称为全连接层(fully-connected layer)。
在 pytorch 中全连接层在 nn.Linear 类中定义它的第一参数是输入的形状我们有两个 x x x 所以是 2。它的第二个参数是输出的形状线性模型的 y y y 是标量所以是 1。
net nn.Sequential(nn.Linear(2, 1)) # 定义模型初始化模型参数
可以把 net 看成一个列表用 net[0] 访问模型中的第一层用 weight.data 和 bias.data 访问里面的参数。
我们还可以用 noraml_ 和 fill_ 来重写参数值完成初始化。
同样初始权重 w 我们采用均值为 0标准差为 0.01 的正态分布随机数偏置 b 初始设为 0。
# 初始化模型参数
net[0].weight.data.normal_(0, 0.01)
net[0].bias.data.fill_(0)定义损失函数
同定义模型类似我们可以直接调用现成的类平方误差使用的是 nn.MSELoss 类。
loss nn.MSELoss() # 损失函数定义优化器
同样优化算法直接调用现成的 optim.SGD利用 net.paremeters() 可以直接获取模型中的参数传入再传入 lr 值即可定义一个小批量随机梯度下降优化器。
lr 0.03 # 学习率
optimizer torch.optim.SGD(net.parameters(), lrlr) # 优化器训练模型
和前面的训练逻辑类似对于每一个小批量我们会经历以下步骤
出初始的参数出发将数据代入模型生成输出并计算损失前向传播通过反向传播计算梯度通过调用优化器来更新参数。
num_epochs 3 # 训练轮数
for epoch in range(num_epochs): # 开始训练for X, y in data_iter:l loss(net(X) ,y) # 前向传播optimizer.zero_grad() # 避免上一轮影响清零梯度l.backward() # 反向传播optimizer.step() # 更新参数l loss(net(features), labels)print(fepoch {epoch 1}, loss {l:f})
w net[0].weight.data
print(w的估计误差, w_true - w.reshape(w_true.shape))
b net[0].bias.data
print(b的估计误差, b_true - b)同样我们可以在每轮训练后输出当前的损失以及打印训练完成时的参数和真实参数的偏差。
epoch 1, loss 0.000273
epoch 2, loss 0.000096
epoch 3, loss 0.000096
w的估计误差 tensor([0.0004, 0.0002])
b的估计误差 tensor([-0.0002])和从零开始实现一样最后估计得到的参数非常接近真实参数。 两种方式实现线性神经网络的完整 py 文件见附件。
