网站设计部,十年前网站开发语言,公司注册资金查询,个人怎么做网站页面高斯消元法的基本原理是通过一系列行变换将线性方程组的增广矩阵转化为简化行阶梯形式#xff0c;从而得到方程组的解。其核心思想是利用矩阵的行变换操作#xff0c;逐步消除未知数的系数#xff0c;使得方程组的求解变得更加简单。
首先#xff0c;给定系数矩阵A和常数向…高斯消元法的基本原理是通过一系列行变换将线性方程组的增广矩阵转化为简化行阶梯形式从而得到方程组的解。其核心思想是利用矩阵的行变换操作逐步消除未知数的系数使得方程组的求解变得更加简单。
首先给定系数矩阵A和常数向量b将它们合并为增广矩阵a。然后确定增广矩阵的行数n和列数m。
接下来使用两个嵌套的循环依次进行消元计算。外层循环i从1到n遍历每一行内层循环j从m递减到i遍历当前行的每个元素。在每次循环中将当前行的第j个元素除以第i个元素即将主元归一化为1。
然后通过两个嵌套的循环对i1到n的行进行消元计算。内层循环k从m递减到i遍历当前行的每个元素将当前行的第k个元素减去第j行的第i个元素乘以第i行的第k个元素即利用消元操作将当前列的下面各行的对应元素都消为0。
然后使用一个逆序的循环从第n-1行开始回代求解未知数。在每次循环中内层循环j从i递减到1将当前行的最后一个元素减去第i1行的第m个元素乘以第j行的第m个元素即通过回代操作求解未知数。
实际上就是两个三层循环消元一个三层循环和回代一个三层循环即算法的复杂度为O(n3)。
A[1,1,2,1;1,2,0,1;1,4,2,1;1,8,2,4];
b[2;0;2;3];
A_b[A,b];
[n,m]size(A_b);
for i1:nfor jm:-1:iA_b(i,j)A_b(i,j)/A_b(i,i);endfor ji1:nfor km:-1:iA_b(j,k)A_b(j,k)-A_b(j,i)*A_b(i,k);endendfprintf(第%d次消元\n,i);disp(rats(A_b));
end
for in-1:-1:1for ji:-1:1A_b(j,m)A_b(j,m)-A_b(j,i1)*A_b(i1,m);A_b(j,i1)0;endfprintf(第%d次回代\n,n-i);disp(rats(A_b));
end在高斯消去法中如果一个列中的主元很小那么在后续的计算过程中将会产生较大的误差。这是因为在消元过程中除法运算会引入数值误差而被除数过小可能导致舍入误差放大。
通过进行列主元选取即选择当前列中绝对值最大的元素所在的行作为主元行可以有效地避免除数过小的情况。选择绝对值最大的元素作为主元能够减小舍入误差的累积从而提高计算过程的稳定性。它可以减少舍入误差对计算结果的影响保证所得到的解更加精确和可靠。
% A[1,1,2,1;1,2,0,1;1,4,2,1;1,8,2,4];
% B[0.0001,1,2,1;1,2,0,1;1,4,2,1;1,8,2,0.0004];
% b[2;0;2;3];
A_b[A,b];
[n,m]size(A_b);
for i1:n[~,maxIndex]max(abs(A_b(i:n,i:i)));maxIndeximaxIndex-1;if i~maxIndexA_b([i,maxIndex],:)A_b([maxIndex,i],:);endfor jm:-1:iA_b(i,j)A_b(i,j)/A_b(i,i);endfor ji1:nfor km:-1:iA_b(j,k)A_b(j,k)-A_b(j,i)*A_b(i,k);endendfprintf(第%d次消元\n,i);disp(rats(A_b));
end
for in-1:-1:1for ji:-1:1A_b(j,m)A_b(j,m)-A_b(j,i1)*A_b(i1,m);A_b(j,i1)0;endfprintf(第%d次回代\n,n-i);disp(rats(A_b));
end
xA_b(:,end:end);
fprintf(高斯列主元消去法\n);
disp(rats(x));
fprintf(matlab内置函数求逆求解\n);
xxA^(-1)*b;
disp(rats(xx));
diffx-xx;
stem(1:100,diff);
与matlab内置求逆的解相比
