网站建议公司,桂林网站制作人才招聘,asp.net 网站 项目 区别,怎么做网站后台切比雪夫不等式#xff1a;方差约束下的概率估计
背景
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背景
在概率分析中切比雪夫不等式是一个常用的工具它通过引入随机变量的 方差信息给出了偏离均值的概率界限。这一不等式是对 马尔科夫不等式 的自然扩展结合了更丰富的分布信息。通过它我们可以更精确地描述随机变量的偏差行为。 核心思想
切比雪夫不等式旨在刻画以下概率 P ( ∣ X − μ ∣ ≥ t ) \mathbb{P}(|X - \mu| \geq t) P(∣X−μ∣≥t) 其中 μ E [ X ] \mu \mathbb{E}[X] μE[X] 是随机变量 X X X 的期望 t 0 t 0 t0 是阈值。为了进行更紧密的估计引入 X X X 的方差 σ 2 E [ ( X − μ ) 2 ] \sigma^2 \mathbb{E}[(X - \mu)^2] σ2E[(X−μ)2]。
切比雪夫不等式表明 P ( ∣ X − μ ∣ ≥ t ) ≤ σ 2 t 2 . \mathbb{P}(|X - \mu| \geq t) \leq \frac{\sigma^2}{t^2}. P(∣X−μ∣≥t)≤t2σ2.
这一结果的直观意义是随机变量偏离均值的概率与方差成正比与偏差阈值的平方成反比。当 t t t 增大时偏离概率迅速下降。 从马尔科夫不等式的扩展到切比雪夫不等式
马尔科夫不等式扩展回顾
回顾马尔科夫不等式扩展给定一个非负随机变量 X X X 和一个单调递增的非负函数 g g g我们有 P ( X ≥ t ) P ( g ( X ) ≥ g ( t ) ) ≤ E [ g ( X ) ] g ( t ) , g ( t ) 0. \mathbb{P}(X \geq t) \mathbb{P}(g(X) \geq g(t)) \leq \frac{\mathbb{E}[g(X)]}{g(t)}, \quad g(t) 0. P(X≥t)P(g(X)≥g(t))≤g(t)E[g(X)],g(t)0. 这一形式可以推广到许多场景具体证明可以参考我的博客 马尔科夫不等式扩展非线性函数下的概率上界。
切比雪夫不等式的推导
在切比雪夫不等式中我们让随机变量的偏差 Z ∣ X − μ ∣ Z |X - \mu| Z∣X−μ∣并选择 g ( x ) x 2 g(x) x^2 g(x)x2。此时 P ( ∣ X − μ ∣ ≥ t ) P ( Z ≥ t ) P ( g ( Z ) ≥ g ( t ) ) ≤ E [ g ( Z ) ] g ( t ) . \mathbb{P}(|X - \mu| \geq t) \mathbb{P}(Z \geq t) \mathbb{P}(g(Z) \geq g(t)) \leq \frac{\mathbb{E}[g(Z)]}{g(t)}. P(∣X−μ∣≥t)P(Z≥t)P(g(Z)≥g(t))≤g(t)E[g(Z)].
对于 g ( x ) x 2 g(x) x^2 g(x)x2我们有 g ( Z ) Z 2 ( X − μ ) 2 , g ( t ) t 2 . g(Z) Z^2 (X - \mu)^2, \quad g(t) t^2. g(Z)Z2(X−μ)2,g(t)t2.
因此 P ( ∣ X − μ ∣ ≥ t ) ≤ E [ ( X − μ ) 2 ] t 2 . \mathbb{P}(|X - \mu| \geq t) \leq \frac{\mathbb{E}[(X - \mu)^2]}{t^2}. P(∣X−μ∣≥t)≤t2E[(X−μ)2].
注意到 E [ ( X − μ ) 2 ] \mathbb{E}[(X - \mu)^2] E[(X−μ)2] 就是 X X X 的方差 σ 2 \sigma^2 σ2最终得到 P ( ∣ X − μ ∣ ≥ t ) ≤ σ 2 t 2 . \mathbb{P}(|X - \mu| \geq t) \leq \frac{\sigma^2}{t^2}. P(∣X−μ∣≥t)≤t2σ2. 例子投资收益的概率估算
假设你投资一个项目 X X X它的年平均收益是 5 % 5\% 5%即 E [ X ] 0.05 \mathbb{E}[X] 0.05 E[X]0.05年收益的方差为 Var ( X ) σ 2 0.01 \text{Var}(X) \sigma^2 0.01 Var(X)σ20.01。你想知道收益超过期望值 50 % 50\% 50%即 ∣ X − E [ X ] ∣ ≥ 0.5 |X - \mathbb{E}[X]| \geq 0.5 ∣X−E[X]∣≥0.5的概率有多大。
使用马尔科夫不等式估算
首先根据前面马尔科夫不等式我们可以得到结果 P ( X ≥ 0.5 ) ≤ 0.05 0.5 0.1. \mathbb{P}(X \geq 0.5) \leq \frac{0.05}{0.5} 0.1. P(X≥0.5)≤0.50.050.1. 即收益超过 50 % 50\% 50% 的概率不会超过 10 % 10\% 10%。 马尔科夫不等式一个快速的概率上界工具-CSDN博客 使用切比雪夫不等式估算
切比雪夫不等式考虑了收益的偏离范围即 P ( ∣ X − E [ X ] ∣ ≥ t ) ≤ σ 2 t 2 . \mathbb{P}(|X - \mathbb{E}[X]| \geq t) \leq \frac{\sigma^2}{t^2}. P(∣X−E[X]∣≥t)≤t2σ2. 这里的 t t t 是收益偏离期望值的阈值因此 t 0.5 − 0.05 0.45 t 0.5 - 0.05 0.45 t0.5−0.050.45代入 σ 2 0.01 \sigma^2 0.01 σ20.01 P ( ∣ X − E [ X ] ∣ ≥ 0.45 ) ≤ 0.01 0.4 5 2 ≈ 0.049. \mathbb{P}(|X - \mathbb{E}[X]| \geq 0.45) \leq \frac{0.01}{0.45^2} \approx 0.049. P(∣X−E[X]∣≥0.45)≤0.4520.01≈0.049. 即收益偏离 50 % 50\% 50% 的概率不会超过 4.9 % 4.9\% 4.9%。 对比与分析 概率上界的精度 使用马尔科夫不等式得到的概率上界是 10 % 10\% 10%而使用切比雪夫不等式后概率上界下降到了 4.9 % 4.9\% 4.9%。切比雪夫不等式利用了方差信息给出了更紧的概率界限。 适用范围 马尔科夫不等式只需要知道随机变量的均值适用于所有非负随机变量因此更通用。切比雪夫不等式需要额外的方差信息因此对分布的要求更高但界限更精确。 解释意义 马尔科夫不等式的结果相对宽松因为它只利用了均值信息假设更大的分布范围。切比雪夫不等式通过引入方差更好地描述了随机变量的波动特性。 特点与不足
优点
利用方差信息相比马尔科夫不等式切比雪夫不等式通过引入方差得到了更紧的概率上界。适用性广只需知道均值和方差无需任何额外的分布假设。直观性通过与方差和偏差的关系定量描述了概率的变化。
缺点
上界仍然宽松实际概率往往远小于不等式给出的界限。不考虑分布形状切比雪夫不等式无法充分利用随机变量的分布信息。 进一步延伸
更紧的界限如果随机变量具有更详细的信息如分布的对称性或独立性可以使用更高级的不等式如赫夫丁不等式或切尔诺夫界。特殊分布的分析对于某些特定分布如正态分布可以通过分布函数直接计算偏差概率从而获得更精确的估计。 小结
切比雪夫不等式是从马尔科夫不等式出发通过引入方差提供了一个更紧密的概率界限。它在随机变量分析中具有广泛的应用是概率界限工具箱中的一件基础工具。然而在实际场景中如果能够获取更多的分布特征使用更高级的不等式往往能带来更好的结果。
在后续内容中我们将进一步探讨如 Chernoff Bound切尔诺夫界 这样的工具如何实现对偏差概率的更精确控制。
