企业网站设计师,外包公司网站开发,什么网站可以做直播,织梦网站首页幻灯片不显示梅氏定理和塞瓦定理 目录 一、说明二、梅涅劳斯#xff08;Menelaus#xff09;定理三、塞瓦(Giovanni Ceva#xff09;定理四、塞瓦点的推广4.1 共线定理4.2 三角形外的塞瓦点 一、说明 在射影几何中#xff0c;梅涅劳斯#xff08;Menelaus#xff09;定理和塞瓦定理是…梅氏定理和塞瓦定理 目录 一、说明二、梅涅劳斯Menelaus定理三、塞瓦(Giovanni Ceva定理四、塞瓦点的推广4.1 共线定理4.2 三角形外的塞瓦点 一、说明 在射影几何中梅涅劳斯Menelaus定理和塞瓦定理是非常重要的基本定理。通过这两个定理可以导出多项结论如极点-极线性质、德萨格定理、pascal定理等本篇专门叙述这两个定理证明。及相关启发。
二、梅涅劳斯Menelaus定理 梅涅劳斯Menelaus定理简称梅氏定理最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》Sphaerica中。 定理定义 当一条直线交 Δ A B C \Delta ABC ΔABC三边所在的直线 B C , A C , A B BC,AC,AB BC,AC,AB分别于点 D , E , F D,E,F D,E,F时则有 A F F B B D D C C E E A 1 \frac{AF}{FB} \frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}1 FBAFDCBDEACE1 分析显然 D , E , F D,E,F D,E,F分别为线段 B C , A C , A B BC,AC,AB BC,AC,AB的定比分点。因此 A F F B λ 1 ; B D D C λ 2 ; C E E A λ 3 \frac{AF}{FB}\lambda_1 ; \; \frac{BD}{DC} \lambda_2;\frac{CE}{EA}\lambda_3 FBAFλ1;DCBDλ2;EACEλ3 因此等价说法是 λ 1 λ 2 λ 3 1 \lambda_1 \lambda_2\lambda_31 λ1λ2λ31 [定理证明] 过点A作 A G ∥ D B AG\parallel DB AG∥DB交 B C BC BC的延长线于G点, 则: A F F B λ 1 D G B D \frac{AF}{FB}\lambda_1\frac{DG}{BD} FBAFλ1BDDG C E E A λ 3 C D D G \frac{CE}{EA}\lambda_3\frac{CD}{DG} EACEλ3DGCD ∴ A F F B B D D C C E E A λ 1 λ 2 λ 3 D G B D B D D C C D D G 1 \therefore \frac{AF}{FB} \frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA} \lambda_1 \lambda_2\lambda_3\frac{DG}{BD} \frac{BD}{DC}\frac{CD}{DG}1 ∴FBAFDCBDEACEλ1λ2λ3BDDGDCBDDGCD1 [证毕]
三、塞瓦(Giovanni Ceva定理 塞瓦(Giovanni Ceva1648~1734)意大利水利工程师数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书也有书中说塞瓦定理是塞瓦重大发现。 【定理说明】 塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)1。 分析
四、塞瓦点的推广
4.1 共线定理 证明「梅涅劳斯定理」和「塞瓦定理」为了思路的简洁开明需要介绍共边定理引理本身是足够简明直观的介绍如下 有参考图如下 在上面的四种情况下有 P M Q M S Δ P A B S Δ Q A B \frac{PM}{QM} \frac{S_{\Delta PAB}}{S_{\Delta QAB}} QMPMSΔQABSΔPAB 证明就免了无非三角形底边相同的时候面积与高成比例高又与斜线成比例因此面积和斜边成比例。
4.2 三角形外的塞瓦点 当塞瓦点在三角形外部如下图ABC的三条线段的交点O位于三角形ABC的外部 A F F B B D D C C E E A 1 \frac{AF}{FB} \frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}1 FBAFDCBDEACE1
【证明】 B D D C S Δ A B D S Δ A D C S Δ O B D S Δ O D C \frac{BD}{DC} \frac{S_{\Delta ABD}}{S_{\Delta ADC}} \frac{S_{\Delta OBD}}{S_{\Delta ODC}} DCBDSΔADCSΔABDSΔODCSΔOBD 更比定理 B D D C S Δ A B D − S Δ O B D S Δ A D C − S Δ O B D S Δ O B A S Δ C A O \frac{BD}{DC} \frac{S_{\Delta ABD}-S_{\Delta OBD}}{S_{\Delta ADC}-S_{\Delta OBD}} \frac{S_{\Delta OBA}}{S_{\Delta CAO}} DCBDSΔADC−SΔOBDSΔABD−SΔOBDSΔCAOSΔOBA C E E A S Δ B C O S Δ A B O \frac{CE}{EA} \frac{S_{\Delta BCO}}{S_{\Delta ABO}} EACESΔABOSΔBCO A F F B S Δ C A O S Δ B C O \frac{AF}{FB} \frac{S_{\Delta CAO}}{S_{\Delta BCO}} FBAFSΔBCOSΔCAO A F F B B D D C C E E A S Δ C A O S Δ B C O S Δ O B A S Δ C A O S Δ B C O S Δ A B O 1 \frac{AF}{FB} \frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA} \frac{S_{\Delta CAO}}{S_{\Delta BCO}}\frac{S_{\Delta OBA}}{S_{\Delta CAO}}\frac{S_{\Delta BCO}}{S_{\Delta ABO}} 1 FBAFDCBDEACESΔBCOSΔCAOSΔCAOSΔOBASΔABOSΔBCO1
【证毕】
