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使用SVD能够对数据进行降维#xff0c;对图像进行SVD#xff0c;降维之后然后重构数据#xff0c;还原后的图像就是压缩后的图像。 SVD
SVD进行图像压缩所依据的数学原理就是矩阵的近似表示#xff1a; A m n ≈ U m k ∑ k k V k n T A_{m\…利用SVD对图像进行压缩
使用SVD能够对数据进行降维对图像进行SVD降维之后然后重构数据还原后的图像就是压缩后的图像。 SVD
SVD进行图像压缩所依据的数学原理就是矩阵的近似表示 A m × n ≈ U m × k ∑ k × k V k × n T A_{m\times n}\approx U_{m\times k}{\sum}_{k\times k}V_{k\times n}^T Am×n≈Um×k∑k×kVk×nT 使用SVD对图像进行压缩的最关键的就是确定k值也就是使用多少个奇异值。用的越多那肯定包含原矩阵的信息就越多但这样处理的数据也多所以需要在数据量和还原度之间取个平衡。确定k有很多启发式的策略其中一个典型的做法就是保留矩阵中90%的能量信息即计算所有奇异值的平方和取前k个奇异值平方和是总体奇异值平方和的90%。另一个启发式策略是当矩阵有上万奇异值时就保留前面的2000或3000个该方法虽然在实际中容易实施但是任何数据集都不能保证前3000个奇异值就能够包含90%的能量信息。 在进行图像压缩时我们采用两种策略来确定k的值 1.通过奇异值总和的百分比来确定k的值 2.通过奇异值总个数的百分比来确定k的值
from PIL import Image
import numpy as npdef get_approx_SVD1(data, percent):#这里了的percent是奇异值总和的百分比U, s, VT np.linalg.svd(data)Sigma np.zeros(np.shape(data))Sigma[:len(s), :len(s)] np.diag(s)count int(sum(s)) * percentk -1curSum 0while curSum count:k 1curSum s[k]D U[:, :k].dot(Sigma[:k, :k].dot(VT[:k, :]))#将矩阵 D 中小于 0 的元素设置为 0将大于 255 的元素设置为 255。#因为在图像处理中像素值通常被限制在0255D[D 0] 0D[D 255] 255return np.rint(D).astype(uint8)def get_approx_SVD2(data, percent):U, s, VT np.linalg.svd(data)Sigma np.zeros(np.shape(data))Sigma[:len(s), :len(s)] np.diag(s)k (int)(percent * len(s))D U[:, :k].dot(Sigma[:k, :k].dot(VT[:k, :]))D[D 0] 0D[D 255] 255return np.rint(D).astype(uint8)def rebuild_img(filename, p, get_approx_SVD, flag):img Image.open(filename, r)a np.array(img)#以下的R0,G0,B0,R,G,B都是二维的不要想成三维了R0 a[:, :, 0]#获得红色的色素值G0 a[:, :, 1]#获得绿色的色素值B0 a[:, :, 2]#获得蓝色的色素值R get_approx_SVD(R0, p)G get_approx_SVD(G0, p)B get_approx_SVD(B0, p)I np.stack((R, G, B), 2)#合成三通道的Nummpy数组#Image.fromarray()函数的作用是将Nummpy数组还原为图像对象Image.fromarray(I).save(str(p * 100) flag .jpg)img Image.open(str(p * 100) flag .jpg, r)img.show()filename ./test.jpgnp.arange(0.2, 1.2, 0.2)
第一个参数0.2起始值即数组的第一个元素。
第二个参数1.2终止值创建的数组中不包括这个值。
第三个参数0.2步长即数组中相邻元素之间的差值。
[0.2,0.4,0.6,0.8,1.0]for p in np.arange(0.2, 1.2, 0.2):rebuild_img(filename, p, get_approx_SVD1, SVD1)
for p in np.arange(0.2, 1.2, 0.2):rebuild_img(filename, p, get_approx_SVD2, SVD2)
原图
效果示例
使用特征值可以将图像进行压缩处理压缩后的图像颜色像素会损失部分通过设定不同的奇异值筛选百分比对比图片压缩后的效果。 原图像的每一层大小为512x512262144效果图中上层的5个图依次对应按奇异值总和的20%40%60%80%100%进行压缩当按奇异值总和的60%压缩时可以达到原图像的效果此时只取了33个奇异值占总奇异值个数的6%即 U U U、 ∑ \sum ∑、 V T V^T VT的大小分别为512x33、33x33、33x512。此时大小总共为 512 × 33 33 × 33 33 × 512 34881 512\times3333\times3333\times51234881 512×3333×3333×512348813个矩阵的大小总和远小于原图像的每一层大小。效果图下层的5个图依次按照奇异值个数的20%40%60%80%100%进行压缩。显然当按照奇异值个数的20%取值时其对应的奇异值总和的百分比已经超过了60%算一下。因此建议按照奇异值总和的百分比压缩图像其实通俗来说就是用的数据少但是效果还不错下层的图效果虽然都很好但是用的数据太多了压缩的数据量不够大
