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一、四个坐标系简介和转换
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一、四个坐标系简介和转换
相机模型为以后一切标定算法的关键只有这边有相当透彻的理解对以后的标定算法才能有更好的理解。本人研究了好长时间几乎每天都重复看几遍最终才会明白其推导过程。 我觉得首先我们要理解相机模型中的四个平面坐标系的关系像素平面坐标系u,v、像平面坐标系图像物理坐标第x,y、相机坐标系Xc,Yc,Zc和世界坐标系Xw,Yw,Zw在每一篇介绍相机模型的文章中都有介绍。 我刚开始理解时看着那一堆的公式十分的头晕我相信很多初学者和我一样但仔细想想只不过是我们假设了一些参数使四个坐标系之间的坐标联系起来这样我们就可以从拍摄的图片上一个点坐标一路反推出世界中的那个点的坐标这样就达到了我们的目的三维重建。而那些我们假设的参数就是我们要标定的内外参数。 1、像素坐标与像平面坐标系之间的关系 确定他们的关系之前我们可以假设每一个像素在u轴和v轴方向上的物理尺寸为dx和dy。仔细看下他们的模型可以推出以下公式这个还是比较好理解的 解释1、dx,dy,u0,v0其实都是我们假设出来的参数dxdy表示感光芯片上像素的实际大小是连接像素坐标系和真实尺寸坐标系的u0,v0是图像平面中心最终是要我们求的内外参数。
得出这个公式后我们可以运用线性代数的知识把方程用矩阵形式表示 当然我们也可以用另一种矩阵形式表示 2、相机坐标系与世界坐标系之间的关系 这两个坐标系之间的关系我们可以旋转矩阵R和平移矩阵T来得到以下关系 公式4 解释1、 在这个公式中R为3*3矩阵T为3*10为000简化用Lw表示后为4*4矩阵。
3、成像投影关系相机坐标系与像平面坐标系 在相机模型中我们可以得到以下公式 公式5 解释1、
同样我们用矩阵形式表示 公式6 4、得到公式 而我们可以将以上公式综合一下就可以得到 因此内参数矩阵可以表示为 外参矩阵可以表示为由旋转矩阵R和平移向量T组成 当然在好多资料上都有这种做法 上图中表示的情况是像素坐标系和图像物理坐标系的两个坐标轴不是平行的关系像素坐标系的两个坐标轴也不是垂直90°的关系而图像物理坐标系的两个坐标轴是垂直关系。所以我们在转换两个坐标轴的坐标之间的关系时就必须考虑像素坐标系两个坐标轴之间的夹角了。就有了上面的不同的内参矩阵理解了就好了。 二、图像坐标我想和世界坐标谈谈(B) 玉米将在这篇博文中对图像坐标与世界坐标的这场对话中涉及的第二个问题谈话方式进行总结。世界坐标是怎样变换进摄像机投影成图像坐标的呢 玉米做了一个简单的图示在这里做一个提纲。图中显示世界坐标系通过刚体变换到达摄像机坐标系然后摄像机坐标系通过透视投影变换到达图像坐标系。可以看出世界坐标与图像坐标的关系建立在刚体变换和透视投影变换的基础上。为了奖励刚体变和透视投影变换沟通了“世界上最远的距离”玉米在图上奖励了他们两朵小红花。哈哈 首先让我们来看一下刚体变换是如何将世界坐标系与图像坐标系联系起来的吧。这里先对刚体变换做一个介绍 刚体变换(regidbody motion):三维空间中 当物体不发生形变时对一个几何物体作旋转 平移的运动称之为刚体变换。
因为世界坐标系和摄像机坐标都是右手坐标系所以其不会发生形变。我们想把世界坐标系下的坐标转换到摄像机坐标下的坐标如下图所示可以通过刚体变换的方式。空间中一个坐标系总可以通过刚体变换转换到另外一个个坐标系的。转一转走一走就到另外一个坐标系下了。以前可能是面朝大海经过平移旋转最终可能只能面朝冰山了哈哈 下面让我来看一下二者之间刚体变化的数学表达。 其中XC代表摄像机坐标系X代表世界坐标系。R代表旋转T代表平移。R、T与摄像机无关所以称这两个参数为摄像机的外参数(extrinsic parameter)可以理解为两个坐标原点之间的距离因其受x,y,z三个方向上的分量共同控制所以其具有三个自由度。 R则为分别绕XYZ三轴旋转的效果之和。如下面所示 Rr1*r2*r3.其由三个方向的θ控制故具有三个自由度。 好了刚体变换就讲完了。大家应该都了解世界坐标系到摄像机坐标系之间的转换过程了吧。 接下来让我们看看摄像机坐标下的坐标如何投影到图像坐标系下最终变为照片中的一个像素。这其中包含两个过程一是从摄像机坐标到“空间图像坐标”x,y所发生的透视投影二是从“连续图像坐标”到“离散图像坐标”(u,v)。后者我们已经在第一篇博文中解释过。所以在这里主要介绍一下透视投影。 透视投影(perspective projection): 用中心投影法将形体投射到投影面上从而获得的一种较为接近视觉效果的单面投影图。有一点像皮影戏。它符合人们心理习惯即离视点近的物体大离视点远的物体小不平行于成像平面的平行线会相交于消隐点(vanish point)。 啰嗦这么多其实大家看看示意图看看公式秒懂。 以图中B(XB,YB)点为例在小孔成像摄像机模型下几何分析的最常用模型。这里的f为摄像机的焦距其属于摄像机的内参数(intrinsic parameter)。其在成像平面上的投影点b(xb,yb)的坐标利用简单的相似三角形比例关系很容易求出 上面两式也阐明了摄像机坐标与图像坐标之间的透视投影关系。 好吧现在玉米已经把图像坐标与世界坐标之间的这场对话所需经历的三个波折的过程加以了解释。即刚体变换、透视投影、(x,y)换(u,v)ps.这个在上一篇博文中讲过。接下来玉米用一张图把三个过程连接起来。实现从世界坐标(X,Y,Z)到(u,v)之间的转换。让图像坐标与世界坐标直接对话。 下图中的转换关系都是用齐次坐标表达的大家会发现这样的表达非常整洁。 其实这张图显示的过程还有一个名字摄像机模型(camera model)。其实也就是摄像机的几何模型了。 将三者相乘可以把这三个过程和在一起写成一个矩阵 P就是世界坐标到图像坐标的直接联系人P就表示了一个投影相机有下面公式 注意在表示齐次坐标时需要在符号上面加个小帽子。除去齐次坐标控制位P23P具有11个自由度。 摄像机模型及其中涉及的坐标系等是弄清3D重建几何框架的基础。可以把它们视为基本运算关系。后面对于三维重建几何框架的推导都是要用到三个基本坐标系和摄像机模型的。
转:https://blog.csdn.net/messi_cyc/article/details/78052931
