团购网站APP怎么做,安徽省建设工程安全 协会网站,手机版制作app软件,山东专业网站建设哪家便宜一、罗德里格斯公式#xff08;Rodrigues’ rotation formula#xff09;是一个用于计算绕任意轴旋转向量的数学公式。它是由欧仁罗德里格斯#xff08;Olinde Rodrigues#xff09;在1840年提出的。这个公式在三维空间中描述了一个向量绕着单位向量旋转θ角度后的结果。
…一、罗德里格斯公式Rodrigues’ rotation formula是一个用于计算绕任意轴旋转向量的数学公式。它是由欧仁·罗德里格斯Olinde Rodrigues在1840年提出的。这个公式在三维空间中描述了一个向量绕着单位向量旋转θ角度后的结果。
设v是一个待旋转的三维向量k是单位旋转轴必须是单位向量θ是旋转角度通常以弧度为单位则v绕k旋转θ角度后的向量v’可以通过罗德里格斯公式计算得到
v’ v * cos(θ) (k × v) * sin(θ) k * (k ⋅ v) * (1 - cos(θ))
其中 v’ 是旋转后的向量。 cos 和 sin 分别表示余弦和正弦函数。 × 表示向量叉乘。 ⋅ 表示向量点乘。
罗德里格斯公式是由以下几个部分组成的 v * cos(θ)v 在旋转轴平行方向的分量在旋转中不会改变。 (k × v) * sin(θ)v 在垂直于旋转轴的平面上的分量绕轴旋转后的分量。 k * (k ⋅ v) * (1 - cos(θ))v 在旋转轴方向上的分量这部分分量在旋转中增强了旋转轴方向的分量。
在图形学、机器人技术、航空航天和其他需要旋转向量的领域中罗德里格斯公式是一种简单而有效的计算工具。此外罗德里格斯公式也常被用来构造旋转矩阵或四元数这在实现三维旋转时非常有用。
二、从轴角变换到旋转矩阵可以使用罗德里格斯公式进行转换
罗德里格斯公式可以用来从轴角表示axis-angle representation转换到旋转矩阵。轴角表示是一种描述旋转的方式它使用一个单位旋转轴 k 和旋转角度 θ 来表示三维空间中的旋转。
给定单位旋转轴 k (kx, ky, kz).T和旋转角度 θ可以通过罗德里格斯旋转公式构造对应的旋转矩阵 R
R I sin(θ) * K (1 - cos(θ)) * K^2
有的教材也写成
R cos(θ) * I sin(θ) * K (1 - cos(θ)) * (k * k.T)其中k (kx, ky, kz).T为列向量
这两个公式其实是一样的。
这里 I 是单位矩阵。 K 是根据旋转轴 k 定义的反对称矩阵。其形式如下 K^2 表示矩阵 K 与自身的矩阵乘积。
将 K 和 K^2 计算出来并代入上述公式就可以得到完整的旋转矩阵 R。这个矩阵可以用来作用于任意向量 v即通过矩阵-向量乘法 Rv 来实现向量 v 绕轴 k 旋转 θ 角度的效果。
python案例
R I sin(θ) * K (1 - cos(θ)) * K^2
import numpy as np
# 这边没有转变成列向量因为不需要之后都是大K的计算
k np.array([1, 0, 0])
# x轴旋转90度
theta np.pi / 2
K np.array([[0, -k[2], k[1]],[k[2], 0, -k[0]],[-k[1], k[0], 0]])
K_squared np.dot(K, K)
# 通过罗德里格斯公式计算旋转矩阵
R np.eye(3) (1 - np.cos(theta)) * K_squared np.sin(theta) * K
print(np.round(R, 5))
R cos(θ) * I sin(θ) * K (1 - cos(θ)) * (k * k.T)
import numpy as np
# 这边特意把k转变成列向量
k np.array([1, 0, 0]).reshape((-1, 1))
theta np.pi / 2
K np.array([[0, -k[2][0], k[1][0]],[k[2][0], 0, -k[0][0]],[-k[1][0], k[0][0], 0]])
# K_squared np.dot(K, K)
print(k, k.T)
K_squared np.dot(k, k.T)
print(K_squared)
R np.cos(theta) * np.eye(3) (1 - np.cos(theta)) * K_squared np.sin(theta) * K
print(np.round(R, 5))
结果都是一样的最多就是精度有所差别
