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1.1 哈希表概述 哈希表#xff08;hash table#xff09;#xff0c;又称散列表#xff0c;其通过建立键 key 与值 value 之间的映射#xff0c;实现高效的元素查询 具体而言#xff0c;向哈希表输入一个键… 参考引用 Hello 算法 Githubhello-algo 1. 哈希表
1.1 哈希表概述 哈希表hash table又称散列表其通过建立键 key 与值 value 之间的映射实现高效的元素查询 具体而言向哈希表输入一个键 key 则可以在 O(1) 时间内获取对应的值 value 如下图所示给定 n 个学生每个学生都有 “姓名” 和 “学号” 两项数据。假如希望实现 “输入一个学号返回对应的姓名” 的查询功能则可以采用下图所示的哈希表来实现 除哈希表外数组和链表也可以实现查询功能它们的效率对比如下图所示 在哈希表中进行增删查改的时间复杂度都是 O(1)非常高效 1.2 哈希表常用操作
哈希表的常见操作包括初始化、查询操作、添加键值对和删除键值对等
/* 1、初始化哈希表 */
unordered_mapint, string map;/* 2、添加操作 */
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
map[12836] 小哈;
map[15937] 小啰;
map[16750] 小算;
map[13276] 小法;
map[10583] 小鸭;/* 3、查询操作 */
// 向哈希表输入键 key 得到值 value
string name map[15937];/* 4、删除操作 */
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
map.erase(10583);哈希表有三种常用遍历方式遍历键值对、遍历键和遍历值/* 5、遍历哈希表 */
// 遍历键值对 key-value
for (auto kv: map) {cout kv.first - kv.second endl;
}
// 单独遍历键 key
for (auto kv: map) {cout kv.first endl;
}
// 单独遍历值 value
for (auto kv: map) {cout kv.second endl;
}1.3 哈希表简单实现
基于数组实现哈希表
在哈希表中将数组中的每个空位称为桶bucket每个桶可存储一个键值对。因此查询操作就是找到 key 对应的桶并在桶中获取 value。如何基于 key 来定位对应的桶呢通过哈希函数hash function实现 哈希函数的作用将一个较大的输入空间映射到一个较小的输出空间在哈希表中输入空间是所有 key输出空间是所有桶数组索引。换句话说输入一个 key可以通过哈希函数得到该 key 对应的键值对在数组中的存储位置 输入一个 key哈希函数的计算过程分为以下两步 通过某种哈希算法 hash() 计算得到哈希值将哈希值对桶数量数组长度capacity取模从而获取该 key 对应的数组索引 index index hash(key) % capacity随后就可以利用 index 在哈希表中访问对应的桶从而获取 value。设数组长度 capacity 100、哈希算法 hash(key) key易得哈希函数为 key % 100。下图以 key 学号和 value 姓名为例展示了哈希函数的工作原理 /* 键值对 */
struct Pair {
public:int key;string val;Pair(int key, string val) {// 使用 this 指针来引用当前对象的成员变量将传入的参数赋值给成员变量 key 和 valthis-key key;this-val val;}
};/* 基于数组简易实现的哈希表 */
class ArrayHashMap {
private:vectorPair * buckets;public:ArrayHashMap() {// 初始化数组包含 100 个桶buckets vectorPair *(100);}~ArrayHashMap() {// 释放内存for (const auto bucket : buckets) {delete bucket;}buckets.clear();}/* 哈希函数 */int hashFunc(int key) {int index key % 100;return index;}/* 查询操作 */string get(int key) {int index hashFunc(key);Pair *pair buckets[index];if (pair nullptr)return ;return pair-val;}/* 添加操作 */void put(int key, string val) {Pair *pair new Pair(key, val);int index hashFunc(key);buckets[index] pair;}/* 删除操作 */void remove(int key) {int index hashFunc(key);// 释放内存并置为 nullptrdelete buckets[index];buckets[index] nullptr;}/* 获取所有键值对 */vectorPair * pairSet() {vectorPair * pairSet;for (Pair *pair : buckets) {if (pair ! nullptr) {pairSet.push_back(pair);}}return pairSet;}/* 获取所有键 */vectorint keySet() {vectorint keySet;for (Pair *pair : buckets) {if (pair ! nullptr) {keySet.push_back(pair-key);}}return keySet;}/* 获取所有值 */vectorstring valueSet() {vectorstring valueSet;for (Pair *pair : buckets) {if (pair ! nullptr) {valueSet.push_back(pair-val);}}return valueSet;}/* 打印哈希表 */void print() {for (Pair *kv : pairSet()) {cout kv-key - kv-val endl;}}
};1.4 哈希冲突与扩容
本质上看哈希函数的作用是将所有 key 构成的输入空间映射到数组所有索引构成的输出空间而输入空间往往远大于输出空间。因此理论上一定存在 “多个输入对应相同输出” 的情况对于上述示例中的哈希函数当输入的 key 后两位相同时哈希函数的输出结果也相同。例如查询学号为 12836 和 20336 的两个学生时得到12836 % 100 36
20336 % 100 36如下图所示两个学号指向了同一个姓名这显然是不对的。将这种多个输入对应同一输出的情况称为哈希冲突hash collision 容易想到哈希表容量越大多个 key 被分配到同一个桶中的概率就越低冲突就越少。因此可以通过扩容哈希表来减少哈希冲突。如下图所示扩容前键值对 (136, A) 和 (236, D) 发生冲突扩容后冲突消失 类似于数组扩容哈希表扩容需将所有键值对从原哈希表迁移至新哈希表非常耗时。并且由于哈希表容量 capacity 改变需要通过哈希函数来重新计算所有键值对的存储位置这进一步提高了扩容过程的计算开销。为此通常会预留足够大的哈希表容量防止频繁扩容 负载因子是哈希表的一个重要概念其定义为哈希表的元素数量除以桶数量用于衡量哈希冲突的严重程度也常被作为哈希表扩容的触发条件
2. 哈希冲突 通常情况下哈希函数的输入空间远大于输出空间因此理论上哈希冲突是不可避免的。比如输入空间为全体整数输出空间为数组容量大小则必然有多个整数映射至同一桶索引 哈希冲突会导致查询结果错误严重影响哈希表的可用性。为解决该问题可以每当遇到哈希冲突时就进行哈希表扩容直至冲突消失为止。此方法简单粗暴且有效但效率太低因为哈希表扩容需要进行大量的数据搬运与哈希值计算。为了提升效率可以采用以下策略 改良哈希表数据结构使得哈希表可以在存在哈希冲突时正常工作仅在哈希冲突比较严重时才执行扩容操作 哈希表的结构改良方法主要包括 “链式地址” 和 “开放寻址” 2.1 链式地址
在原始哈希表中每个桶仅能存储一个键值对。链式地址separate chaining将单个元素转换为链表将键值对作为链表节点将所有发生冲突的键值对都存储在同一链表中。下图展示了一个链式地址哈希表的例子 基于链式地址实现的哈希表的操作方法发生了以下变化 查询元素 输入 key经过哈希函数得到桶索引即可访问链表头节点然后遍历链表并对比 key 以查找目标键值对 添加元素 先通过哈希函数访问链表头节点然后将节点即键值对添加到链表中 删除元素 根据哈希函数的结果访问链表头部接着遍历链表以查找目标节点并将其删除 链式地址存在以下局限性 占用空间增大链表包含节点指针它相比数组更加耗费内存空间查询效率降低因为需要线性遍历链表来查找对应元素
/* 链式地址哈希表 */
class HashMapChaining {private:int size; // 键值对数量int capacity; // 哈希表容量double loadThres; // 触发扩容的负载因子阈值int extendRatio; // 扩容倍数vectorvectorPair * buckets; // 桶数组public:/* 构造方法 */HashMapChaining() : size(0), capacity(4), loadThres(2.0 / 3.0), extendRatio(2) {buckets.resize(capacity);}/* 析构方法 */~HashMapChaining() {for (auto bucket : buckets) {for (Pair *pair : bucket) {// 释放内存delete pair;}}}/* 哈希函数 */int hashFunc(int key) {return key % capacity;}/* 负载因子 */double loadFactor() {return (double)size / (double)capacity;}/* 查询操作 */string get(int key) {int index hashFunc(key);// 遍历桶若找到 key 则返回对应 valfor (Pair *pair : buckets[index]) {if (pair-key key) {return pair-val;}}// 若未找到 key 则返回空字符串return ;}/* 添加操作 */void put(int key, string val) {// 当负载因子超过阈值时执行扩容if (loadFactor() loadThres) {extend();}int index hashFunc(key);// 遍历桶若遇到指定 key 则更新对应 val 并返回for (Pair *pair : buckets[index]) {if (pair-key key) {pair-val val;return;}}// 若无该 key 则将键值对添加至尾部buckets[index].push_back(new Pair(key, val));size;}/* 删除操作 */void remove(int key) {int index hashFunc(key);auto bucket buckets[index];// 遍历桶从中删除键值对for (int i 0; i bucket.size(); i) {if (bucket[i]-key key) {Pair *tmp bucket[i];bucket.erase(bucket.begin() i); // 从中删除键值对delete tmp; // 释放内存size--;return;}}}/* 扩容哈希表 */void extend() {// 暂存原哈希表vectorvectorPair * bucketsTmp buckets;// 初始化扩容后的新哈希表capacity * extendRatio;buckets.clear();buckets.resize(capacity);size 0;// 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表for (auto bucket : bucketsTmp) {for (Pair *pair : bucket) {put(pair-key, pair-val);// 释放内存delete pair;}}}/* 打印哈希表 */void print() {for (auto bucket : buckets) {cout [;for (Pair *pair : bucket) {cout pair-key - pair-val , ;}cout ]\n;}}
};当链表很长时查询效率 O(n) 很差。此时可以将链表转换为 “AVL 树” 或 “红黑树”从而将查询操作的时间复杂度优化至 O(log n) 2.2 开放寻址
开放寻址open addressing不引入额外的数据结构而是通过 “多次探测” 来处理哈希冲突探测方式主要包括线性探测、平方探测、多次哈希等
2.2.1 线性探测 线性探测采用固定步长的线性搜索来进行探测其操作方法与普通哈希表有所不同 插入元素 通过哈希函数计算桶索引若发现桶内已有元素则从冲突位置向后线性遍历步长通常为 1直至找到空桶将元素插入其中 查找元素 若发现哈希冲突则使用相同步长向后线性遍历直到找到对应元素返回 value 即可如果遇到空桶说明目标元素不在哈希表中返回 None 下图展示了开放寻址线性探测哈希表的键值对分布。根据此哈希函数最后两位相同的 key 都会被映射到相同的桶。而通过线性探测它们被依次存储在该桶以及之下的桶中 然而线性探测容易产生 “聚集现象”。具体来说数组中连续被占用的位置越长这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大从而进一步促使该位置的聚堆生长形成恶性循环最终导致增删查改操作效率劣化不能在开放寻址哈希表中直接删除元素。这是因为删除元素会在数组内产生一个空桶 None而当查询元素时线性探测到该空桶就会返回因此在该空桶之下的元素都无法再被访问到程序可能误判这些元素不存在 为了解决该问题可以采用懒删除lazy deletion机制 它不直接从哈希表中移除元素而是利用一个常量 TOMBSTONE 来标记这个桶在该机制下None 和 TOMBSTONE 都代表空桶都可以放置键值对但不同的是线性探测到 TOMBSTONE 时应该继续遍历因为其之下可能还存在键值对 然而懒删除可能会加速哈希表的性能退化。这是因为每次删除操作都会产生一个删除标记随着 TOMBSTONE 的增加搜索时间也会增加因为线性探测可能需要跳过多个 TOMBSTONE 才能找到目标元素 为此考虑在线性探测中记录遇到的首个 TOMBSTONE 的索引并将搜索到的目标元素与该 TOMBSTONE 交换位置。这样做的好处是当每次查询或添加元素时元素会被移动至距离理想位置探测起始点更近的桶从而优化查询效率 以下代码实现了一个包含懒删除的开放寻址线性探测哈希表。为了更加充分地使用哈希表的空间将哈希表看作是一个 “环形数组”当越过数组尾部时回到头部继续遍历 /* 开放寻址哈希表 */
class HashMapOpenAddressing {private:int size; // 键值对数量int capacity 4; // 哈希表容量const double loadThres 2.0 / 3.0; // 触发扩容的负载因子阈值const int extendRatio 2; // 扩容倍数vectorPair * buckets; // 桶数组Pair *TOMBSTONE new Pair(-1, -1); // 删除标记public:/* 构造方法 */HashMapOpenAddressing() : size(0), buckets(capacity, nullptr) {}/* 析构方法 */~HashMapOpenAddressing() {for (Pair *pair : buckets) {if (pair ! nullptr pair ! TOMBSTONE) {delete pair;}}delete TOMBSTONE;}/* 哈希函数 */int hashFunc(int key) {return key % capacity;}/* 负载因子 */double loadFactor() {return (double)size / capacity;}/* 搜索 key 对应的桶索引 */int findBucket(int key) {int index hashFunc(key);int firstTombstone -1;// 线性探测当遇到空桶时跳出while (buckets[index] ! nullptr) {// 若遇到 key 返回对应桶索引if (buckets[index]-key key) {// 若之前遇到了删除标记则将键值对移动至该索引if (firstTombstone ! -1) {buckets[firstTombstone] buckets[index];buckets[index] TOMBSTONE;return firstTombstone; // 返回移动后的桶索引}return index; // 返回桶索引}// 记录遇到的首个删除标记if (firstTombstone -1 buckets[index] TOMBSTONE) {firstTombstone index;}// 计算桶索引越过尾部返回头部index (index 1) % capacity;}// 若 key 不存在则返回添加点的索引return firstTombstone -1 ? index : firstTombstone;}/* 查询操作 */string get(int key) {// 搜索 key 对应的桶索引int index findBucket(key);// 若找到键值对则返回对应 valif (buckets[index] ! nullptr buckets[index] ! TOMBSTONE) {return buckets[index]-val;}// 若键值对不存在则返回空字符串return ;}/* 添加操作 */void put(int key, string val) {// 当负载因子超过阈值时执行扩容if (loadFactor() loadThres) {extend();}// 搜索 key 对应的桶索引int index findBucket(key);// 若找到键值对则覆盖 val 并返回if (buckets[index] ! nullptr buckets[index] ! TOMBSTONE) {buckets[index]-val val;return;}// 若键值对不存在则添加该键值对buckets[index] new Pair(key, val);size;}/* 删除操作 */void remove(int key) {// 搜索 key 对应的桶索引int index findBucket(key);// 若找到键值对则用删除标记覆盖它if (buckets[index] ! nullptr buckets[index] ! TOMBSTONE) {delete buckets[index];buckets[index] TOMBSTONE;size--;}}/* 扩容哈希表 */void extend() {// 暂存原哈希表vectorPair * bucketsTmp buckets;// 初始化扩容后的新哈希表capacity * extendRatio;buckets vectorPair *(capacity, nullptr);size 0;// 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表for (Pair *pair : bucketsTmp) {if (pair ! nullptr pair ! TOMBSTONE) {put(pair-key, pair-val);delete pair;}}}/* 打印哈希表 */void print() {for (Pair *pair : buckets) {if (pair nullptr) {cout nullptr endl;} else if (pair TOMBSTONE) {cout TOMBSTONE endl;} else {cout pair-key - pair-val endl;}}}
};2.2.2 平方探测 平方探测与线性探测类似都是开放寻址的常见策略之一。当发生冲突时平方探测不是简单地跳过一个固定的步数而是跳过 “探测次数的平方” 的步数即 1, 4, 9, … 步 平方探测优点 平方探测通过跳过平方的距离试图缓解线性探测的聚集效应平方探测会跳过更大的距离来寻找空位置有助于数据分布得更加均匀 平方探测缺点 仍然存在聚集现象即某些位置比其他位置更容易被占用由于平方的增长平方探测可能不会探测整个哈希表这意味着即使哈希表中有空桶平方探测也可能无法访问到它
2.2.3 多次哈希
多次哈希使用多个哈希函数 f_1(x)、f_2(x)、f_3(x)、… 进行探测 插入元素 若哈希函数 f_1(x) 出现冲突则尝试 f_2(x)以此类推直到找到空桶后插入元素 查找元素 在相同的哈希函数顺序下进行查找直到找到目标元素时返回或当遇到空桶或已尝试所有哈希函数说明哈希表中不存在该元素则返回 None 与线性探测相比多次哈希方法不易产生聚集但多个哈希函数会增加额外的计算量 3. 哈希算法 无论是开放寻址还是链地址法它们只能保证哈希表可以在发生冲突时正常工作但无法减少哈希冲突的发生 如果哈希冲突过于频繁哈希表的性能则会急剧劣化。如下图所示对于链地址哈希表理想情况下键值对平均分布在各个桶中达到最佳查询效率最差情况下所有键值对都被存储到同一个桶中时间复杂度退化至 O(n) 键值对的分布情况由哈希函数决定index hash(key) % capacity // 哈希函数当哈希表容量 capacity 固定时哈希算法 hash() 决定了输出值进而决定了键值对在哈希表中的分布情况。这意味着为了减小哈希冲突的发生概率应当将注意力集中在哈希算法 hash() 的设计上
3.1 哈希算法的设计
加法哈希 对输入的每个字符的 ASCII 码进行相加将得到的总和作为哈希值 乘法哈希 利用了乘法的不相关性每轮乘以一个常数将各个字符的 ASCII 码累积到哈希值中 异或哈希 将输入数据的每个元素通过异或操作累积到一个哈希值中 旋转哈希 将每个字符的 ASCII 码累积到一个哈希值中每次累积之前都会对哈希值进行旋转操作 /* 加法哈希 */
int addHash(string key) {long long hash 0;const int MODULUS 1000000007;for (unsigned char c : key) {hash (hash (int)c) % MODULUS;}return (int)hash;
}/* 乘法哈希 */
int mulHash(string key) {long long hash 0;const int MODULUS 1000000007;for (unsigned char c : key) {hash (31 * hash (int)c) % MODULUS;}return (int)hash;
}/* 异或哈希 */
int xorHash(string key) {int hash 0;const int MODULUS 1000000007;for (unsigned char c : key) {hash ^ (int)c;}return hash MODULUS;
}/* 旋转哈希 */
int rotHash(string key) {long long hash 0;const int MODULUS 1000000007;for (unsigned char c : key) {hash ((hash 4) ^ (hash 28) ^ (int)c) % MODULUS;}return (int)hash;
}每种哈希算法的最后一步都是对大质数 1000000007 取模以确保哈希值在合适的范围内。值得思考的是为什么要强调对质数取模或者说对合数取模的弊端是什么 当使用大质数作为模数时可以最大化地保证哈希值的均匀分布。因为质数不会与其他数字存在公约数可以减少因取模操作而产生的周期性模式从而避免哈希冲突通常选取质数作为模数并且这个质数最好足够大以尽可能消除周期性模式提升哈希算法的稳健性
3.2 常见哈希算法 上述简单哈希算法比较脆弱比如由于加法和异或满足交换律因此加法哈希和异或哈希无法区分内容相同但顺序不同的字符串这可能会加剧哈希冲突并引起一些安全问题 在实际中通常会用一些标准哈希算法例如 MD5、SHA-1、SHA-2、SHA3 等。它们可以将任意长度的输入数据映射到恒定长度的哈希值 MD5 和 SHA-1 已多次被成功攻击因此它们被各类安全应用弃用SHA-2 系列中的 SHA-256 是最安全的哈希算法之一仍未出现成功的攻击案例因此常被用在各类安全应用与协议中SHA-3 相较 SHA-2 的实现开销更低、计算效率更高但目前使用覆盖度不如 SHA-2 系列 3.3 数据结构的哈希值 哈希表的 key 可以是整数、小数或字符串等数据类型。编程语言通常会为这些数据类型提供内置的哈希算法用于计算哈希表中的桶索引 int num 3;
size_t hashNum hashint()(num);
// 整数 3 的哈希值为 3bool bol true;
size_t hashBol hashbool()(bol);
// 布尔量 1 的哈希值为 1double dec 3.14159;
size_t hashDec hashdouble()(dec);
// 小数 3.14159 的哈希值为 4614256650576692846string str Hello 算法;
size_t hashStr hashstring()(str);
// 字符串 Hello 算法 的哈希值为 15466937326284535026// 在 C 中内置 std:hash() 仅提供基本数据类型的哈希值计算
// 数组、对象的哈希值计算需要自行实现在许多编程语言中只有不可变对象才可作为哈希表的 key。假如将列表动态数组作为 key 当列表的内容发生变化时它的哈希值也随之改变就无法在哈希表中查询到原先的 value 虽然自定义对象比如链表节点的成员变量是可变的但它是可哈希的。这是因为对象的哈希值通常是基于内存地址生成的即使对象的内容发生了变化但它的内存地址不变哈希值仍然是不变的
