小说网站源码html,网站建设的er图怎么画,专做酒的小程序网站,盐城seo推广物理信息神经网络#xff08;PINN#xff09;: 将物理知识融合到深度学习中 物理信息神经网络#xff08;PINN#xff09;简介PINN的工作原理PINN模型如何利用物理法则指导模型训练1. 定义物理问题和相应的物理定律2. 构建神经网络3. 定义损失函数数据误差项 (Data-fidelit… 物理信息神经网络PINN: 将物理知识融合到深度学习中 物理信息神经网络PINN简介PINN的工作原理PINN模型如何利用物理法则指导模型训练1. 定义物理问题和相应的物理定律2. 构建神经网络3. 定义损失函数数据误差项 (Data-fidelity Loss)物理信息误差项 (Physics-informed Loss) 4. 训练网络5. 模型验证与测试 PINNs与传统机器学习的区别如何构建一个PINN1. 确定问题域和物理定律2. 选择网络架构3. 准备数据集4. 定义损失函数5. 训练模型6. 对模型进行验证和测试7. 调参与优化8. 解释和应用 相关文献 物理信息神经网络PINN简介
物理信息神经网络Physics-Informed Neural Networks简称PINN是一种结合了深度学习和物理学知识的机器学习模型。与传统的数据驱动的神经网络不同PINNs 在学习过程中利用物理法则对模型进行指导从而提高模型泛化能力特别是在数据较少或噪声较大的情况下。
PINN的工作原理
PINN模型通常由一个深度神经网络构成其特点在于损失函数中加入了物理信息项即所遵循的物理定律。例如在流体动力学中可能会使用Navier-Stokes方程作为物理信息。模型训练时不仅要最小化数据误差还要最小化物理信息误差确保预测结果符合物理定律。
PINN模型如何利用物理法则指导模型训练
PINN模型利用物理法则指导模型训练的核心在于将物理知识引入损失函数中。以下是利用物理法则指导模型训练的详细步骤
1. 定义物理问题和相应的物理定律
首先需要明确模型目标及其对应的物理定律。例如在解决流体力学问题时可能会涉及到Navier-Stokes方程。模型的建立和训练过程应围绕该物理定律展开。
2. 构建神经网络
根据问题的复杂性来设计神经网络的结构。网络输入通常是问题域中的位置、时间等参数输出是感兴趣物理量的估计值例如速度、压力等。
3. 定义损失函数
损失函数是模型训练中的关键部分通常包含以下两部分
数据误差项 (Data-fidelity Loss)
这部分用来衡量网络预测输出与实际观测数据之间的差异目的是使网络能够尽可能拟合数据。例如可以使用均方误差作为数据误差项。
物理信息误差项 (Physics-informed Loss)
这部分是PINN独有的它考量了网络预测结果是否满足物理定律。将网络预测的物理量代入相应的物理定律通常是微分方程中计算得到的残差构成这一部分损失函数从而确保了物理一致性。
以下是一个简化示例展示PINN模型结合物理定律定义损失函数的过程以一维热传导方程为例
物理规律热传导方程: ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 0 \frac{\partial u}{\partial t} - \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} 0 ∂t∂u−α∂x2∂2u0
其中 u ( x , t ) u(x,t) u(x,t)是温度分布 α \alpha α是热扩散系数。
神经网络: 假设网络结构NN接受位置x和时间t作为输入输出预测的温度分布 u ^ ( x , t ) \hat{u}(x,t) u^(x,t)
物理信息误差项残差: L P D E [ ∂ u ^ ∂ t − α ∂ 2 u ^ ∂ x 2 ] 2 \mathcal{L}_{PDE} \left[ \frac{\partial \hat{u}}{\partial t} - \alpha \frac{\partial^2 \hat{u}}{\partial x^2} \right]^2 LPDE[∂t∂u^−α∂x2∂2u^]2
数据误差项如果有实际观测数据u_obs: L d a t a ∣ ∣ u ^ − u o b s ∣ ∣ 2 \mathcal{L}_{data} || \hat{u} - u_{obs} ||^2 Ldata∣∣u^−uobs∣∣2
最终损失函数: L λ P D E L P D E λ d a t a L d a t a \mathcal{L} \lambda_{PDE} \mathcal{L}_{PDE} \lambda_{data} \mathcal{L}_{data} LλPDELPDEλdataLdata
其中 λ P D E \lambda_{PDE} λPDE和 λ d a t a \lambda_{data} λdata 是权衡两个误差项重要性的超参数。通过选择适当的超参数模型在拟合数据的同时将预测的物理量约束在物理定律允许的范围之内。
4. 训练网络
使用梯度下降或其他优化算法对网络权重进行调整并最小化整体损失函数包括数据误差项和物理信息误差项从而同时达到数据拟合和物理规律遵守。
5. 模型验证与测试
对训练好的模型进行验证确保模型在训练集以外的数据上也能做出准确、符合物理定律的预测。
通过以上步骤PINN模型在训练过程中将物理法则以数学公式的形式融入学习目标使得模型不仅能够从数据中学习还能遵守物理世界的约束从而在数据稀缺或噪声较多的情况下仍然能够进行有效的训练和预测。
PINNs与传统机器学习的区别
在传统的机器学习方法中学习过程主要由数据驱动模型很大程度上依赖于大量的、高质量的数据。然而在实际应用中往往面临数据贫乏或者数据存在噪声的问题。在这种情况下仅依靠数据驱动的模型很难得到准确可靠的预测结果。
相比之下PINNs引入物理知识作为先验旨在克服数据不足的局限性。借助物理定律PINNs即便在数据较少的情况下也能给出符合物理直觉的预测。 物理约束的融合 PINNs在模型的训练过程中PINNs将物理学的先验知识通常是偏微分方程或其他物理定律直接融入到模型中。这些物理约束以损失函数中的额外项出现使模型在训练过程中遵从物理规律。传统机器学习绝大多数传统机器学习方法特别是数据驱动的方法不会显式地考虑物理约束。这些方法侧重于从数据中学习模式和关系而不是依赖于解析式的物理知识。 对数据依赖性 PINNs虽然PINNs仍然需要数据进行训练但是它们对数据质量和数据量的依赖相对较小因为物理约束提供了额外的指导信息。这对于数据匮乏或高成本数据获取情况下的问题尤其有价值。传统机器学习大多数机器学习模型如监督学习模型需要大量的标记数据。在数据稀缺或数据标注成本高昂的情况下模型的性能可能会受到严重影响。 泛化能力 PINNsPINNs模型因其整合了物理法则在面对超出训练数据分布的新问题时通常具备更好的泛化能力。即使在数据稀缺的环境中也可以保持对物理现象的合理预测。传统机器学习这些模型可能在数据密集区域内泛化得很好但对于远离训练分布的新数据或极端情况可能难以提供准确的预测。 问题适用性 PINNs特别适用于那些可以被明确物理定律描述的科学计算和工程问题如流体力学、结构分析及其他多物理场问题。传统机器学习广泛应用于各类问题包括图像识别、自然语言处理、推荐系统等特别适合于那些难以用物理定律描述或物理定律未知的情况。
总结来说PINNs通过将物理知识引入机器学习模型强化了模型的解释性和泛化能力特别是在面对受物理法则支配的问题时。相较之下传统机器学习方法依赖于大量数据并着重于数据驱动的模式学习可能无法保证解的物理可行性。
如何构建一个PINN
构建一个物理信息神经网络PINN主要涉及以下步骤
1. 确定问题域和物理定律
首先要明确研究的问题是什么以及该问题遵循的物理定律。这些物理定律通常是以偏微分方程PDEs的形式存在。
2. 选择网络架构
根据问题的复杂性选择合适的神经网络架构。对于许多PINN应用一个全连接的深度神经网络足以起始。如果问题涉及到图像或空间数据可能需要使用卷积神经网络CNNs。
3. 准备数据集
即便在数据稀缺的情形下PINN也能发挥作用但如果可用收集相关的观测数据对于模型的训练仍然十分重要。这些数据用于校准模型预测并构成损失函数中的数据驱动部分。
4. 定义损失函数
损失函数是PINN的关键部分它由两个主要组成部分构建数据驱动损失和物理驱动损失。
数据驱动损失量化模型预测与实际数据的差异。物理驱动损失量化模型预测与物理方程残差的差异确保预测遵循已知的物理定律。
5. 训练模型
使用适当的优化算法对神经网络的参数进行调整目的是最小化总损失。这通常是通过梯度下降的变体例如Adam优化器来实现的。
6. 对模型进行验证和测试
使用独立于训练集的数据集测试模型的泛化能力。校验模型的预测是否符合物理法则以及其对实验数据的拟合程度。
7. 调参与优化
调整网络架构、超参数例如学习率、批处理大小、权重初始化等或者损失函数中的权重以改善模型的表现。这可能需要多次迭代试验。
8. 解释和应用
验证模型表现后解释模型预测与物理过程的关系并将其应用于实际问题之中。
通过上述步骤就可以构建一个适用于特定物理学问题的PINN模型。需要注意的是理论知识的深入理解对于构建和调整PINN模型至关重要因为这直接影响到损失函数的构造以及模型训练的效果。
相关文献 Raissi, M., Perdikaris, P., Karniadakis, G. E. (2019). Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations. Journal of Computational Physics, 378, 686-707. 链接 Pang, G., Lu, L., Karniadakis, G. E. (2019). fPINNs: Fractional physics-informed neural networks. SIAM Journal on Scientific Computing, 41(4), B837-B858. 链接 Jagtap, A. D., Kawaguchi, K., Karniadakis, G. E. (2020). Adaptive activation functions accelerate convergence in deep and physics-informed neural networks. Journal of Computational Physics, 404, 109136. 链接 Kim, J., Azevedo, D., Chen, X., Karniadakis, G. E. (2020). Integration of deep learning with a physics-based computational model for spatiotemporal dynamics. Proceedings of the National Academy of Sciences, 117(48), 30235-30245. 链接 Cai, S., Wang, Z., Wang, S., Perdikaris, P., Karniadakis, G. E. (2021). Physics-informed neural networks for heat transfer problems. Journal of Heat Transfer, 143(6), 060801. 链接 Mao, Z., Jagtap, A. D., Karniadakis, G. E. (2020). Physics-informed neural networks for high-speed flows. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 360, 112789. 链接 Zhang, Y., Guo, H., Karniadakis, G. E. (2021). Learning in modal space: Solving time-dependent stochastic PDEs using physics-informed neural networks. SIAM Journal on Scientific Computing, 43(2), B202-B223. 链接 Sirignano, J., Spiliopoulos, K. (2018). DGM: A deep learning algorithm for solving partial differential equations. Journal of Computational Physics, 375, 1339-1364. 链接
