网站设计服务费一般多少钱,网站注册费用需要多钱,微网站需要什么,台州网站制作方案似乎是一篇又水又没啥用的博客。
Part 1
首先给出伯努利数 B n B_n Bn的生成函数定义#xff1a; x e x − 1 ∑ n 0 ∞ B n x n n ! \frac{x}{e^x-1}\sum_{n0}^{\infty}\frac{B_nx^n}{n!} ex−1xn0∑∞n!Bnxn
伯努利数可以用来等幂求和。
定义 S m ( n ) ∑…似乎是一篇又水又没啥用的博客。
Part 1
首先给出伯努利数 B n B_n Bn的生成函数定义 x e x − 1 ∑ n 0 ∞ B n x n n ! \frac{x}{e^x-1}\sum_{n0}^{\infty}\frac{B_nx^n}{n!} ex−1xn0∑∞n!Bnxn
伯努利数可以用来等幂求和。
定义 S m ( n ) ∑ i 0 n − 1 i m S_m(n)\sum_{i0}^{n-1}i^m Sm(n)i0∑n−1im
众所周知这是一个 m 1 m1 m1次多项式事实上 S m ( n ) 1 m 1 ∑ k 0 m ( m 1 k ) B k n m 1 − k S_m(n)\frac{1}{m1}\sum_{k0}^m\binom{m1}{k}B_kn^{m1-k} Sm(n)m11k0∑m(km1)Bknm1−k
事实上可以观察发现每一行的各项系数和为 0 0 0因此我们可以得到伯努利数的递推关系 ∑ j 0 m ( m 1 j ) B j 0 , ( m 0 ) B 0 1 \sum_{j0}^m\binom{m1}{j}B_j0,(m0)\\B_01 j0∑m(jm1)Bj0,(m0)B01
因此理论上伯努利数也可以半在线卷积求但是 我不会高科技 直接多项式求逆显然更方便一些。
这下我们终于知道为什么任意 m m m次多项式的前缀和是 m 1 m1 m1次多项式了。这不是显然吗。当然在大多数题目中还会做一些类似于平移、伸缩的变换。
Part 2
众所周知自然数幂与第二类斯特林数有一定的关系因此我们猜测伯努利数和第二类斯特林数也有一定的关系。
小小的trick x e x − 1 ln ( 1 − ( 1 − e x ) ) e x − 1 ∑ k ≥ 0 ( 1 − e x ) k k 1 ∑ k ≥ 0 ( − 1 ) k k 1 ∑ i ≥ k { i k } k ! i ! x i ∑ i ≥ 0 x i i ! ∑ 0 ≤ k ≤ i ( − 1 ) k k ! k 1 { i k } \begin{aligned} \frac{x}{e^x-1}\frac{\ln(1-(1-e^x))}{e^x-1}\\\sum_{k\ge 0}\frac{(1-e^x)^k}{k1}\\\sum_{k\ge 0}\frac{(-1)^k}{k1}\sum_{i\ge k}\begin{Bmatrix}i\\k\end{Bmatrix}\frac{k!}{i!}x^i\\\sum_{i\ge 0}\frac{x^i}{i!}\sum_{0\le k\le i}\frac{(-1)^kk!}{k1}\begin{Bmatrix}i\\k\end{Bmatrix} \end{aligned} ex−1xex−1ln(1−(1−ex))k≥0∑k1(1−ex)kk≥0∑k1(−1)ki≥k∑{ik}i!k!xii≥0∑i!xi0≤k≤i∑k1(−1)kk!{ik}
对这部分推导不熟悉的可以看一下 这篇博客 。则我们得到了直接计算伯努利数的公式 B n ∑ k 1 n ( − 1 ) k k ! k 1 { i k } B_n\sum_{k1}^n\frac{(-1)^kk!}{k1}\begin{Bmatrix}i\\k\end{Bmatrix} Bnk1∑nk1(−1)kk!{ik}
评价是没什么用处。
例题仓鼠的数学题
