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3分钟帮你搞定两类曲线积分之间的联系#xff08;弧长和坐标#xff09;
两类曲线积分的联系
设平面曲线LLL上的第二类曲线积分∫LPdxQdy…
文章目录参考教程一两类曲线积分的联系参数方程曲线的切线方向余弦参考教程2两类曲线积分之间的关系物理意义解释证明思路参考教程一
3分钟帮你搞定两类曲线积分之间的联系弧长和坐标
两类曲线积分的联系
设平面曲线LLL上的第二类曲线积分∫LPdxQdy\int_L Pdx Qdy∫LPdxQdy与第一类曲线积分存在如下联系
利用弧长元素 dsdsds与坐标微分的关系dxcosα⋅dsdx \cos\alpha \cdot dsdxcosα⋅dsdycosβ⋅dsdy \cos\beta \cdot dsdycosβ⋅dsα\alphaα, β\betaβ) 为曲线切线与 ( x, y ) 轴夹角 则 cosα⋅dscos\alpha \cdot dscosα⋅ds可以看成s在x轴方向的投影所以等于dxdxdx ∫LPdxQdy∫LPcosα⋅dsQcosβ⋅ds∫L(PcosαQcosβ)ds\begin{align*} \int_L Pdx Qdy \int_L P\cos\alpha \cdot ds Q\cos\beta \cdot ds \\ \int_L \left( P\cos\alpha Q\cos\beta \right) ds \end{align*} ∫LPdxQdy∫LPcosα⋅dsQcosβ⋅ds∫L(PcosαQcosβ)ds
体现“第二类曲线积分按坐标积分 ”与“第一类曲线积分按弧长积分 ”通过切线方向余弦建立转换关系是曲线积分理论的核心联系公式 。
参数方程曲线的切线方向余弦
设平面曲线的参数方程为
{xφ(t)yψ(t)\begin{cases} x \varphi(t) \\ y \psi(t) \end{cases} {xφ(t)yψ(t)
曲线切线与xxx 轴、yyy 轴夹角的方向余弦为
cosαφ′(t)φ′2(t)ψ′2(t),cosβψ′(t)φ′2(t)ψ′2(t)\cos\alpha \frac{\varphi(t)}{\sqrt{\varphi^2(t) \psi^2(t)}}, \quad \cos\beta \frac{\psi(t)}{\sqrt{\varphi^2(t) \psi^2(t)}} cosαφ′2(t)ψ′2(t)φ′(t),cosβφ′2(t)ψ′2(t)ψ′(t)
其中alphaalphaalpha是切线与xxx 轴正向夹角β\betaβ 是切线与yyy 轴正向夹角分母是参数方程导数的模长体现“切线方向向量 (φ′(t)(\varphi(t)(φ′(t) , ψ′(t))\psi(t))ψ′(t)) 单位化”的逻辑是两类曲线积分联系公式的基础 。
参考教程2
如何理解“两类曲线积分之间的关系”
两类曲线积分之间的关系
∫LPdxQdy∫L(PcosαQcosβ)ds\begin{align*} \int_L Pdx Qdy \int_L \left( P\cos\alpha Q\cos\beta \right) ds \end{align*} ∫LPdxQdy∫L(PcosαQcosβ)ds
物理意义解释
第二型曲线积分的物理意义遍历沿曲线做功假设质点在A处沿着曲线AB的方向运动到B点然后在运动过程中每时每刻受大小方向都在变的力F的作用求整个F在这个过程中所作的功。
证明思路
**算两次**把同一个量按照两种不同的方式算一遍
把FFF分解成水平方向的分力PPP和竖直方向的分力QQQ算F做的功。
功 WWW 可表示为第二类曲线积分
W∫LPdxQdyW \int_L P \, dx Q \, dy W∫LPdxQdy
其中 dx,dydx, dydx,dy 是曲线LLL 上的坐标微分体现“变力沿路径做功 力的分量与位移分量乘积的积分”是第二类曲线积分的经典物理应用场景 。
把力FFF投影到瞬时速度方向 把P和Q 同时投影到L方向过P做L的垂线大小就是PcosαP\cos\alphaPcosα 同理可以把Q投影到L方向上
W∫L(PcosαQcosβ)dsW \int_L \left( P\cos\alpha Q\cos\beta \right) ds W∫L(PcosαQcosβ)ds
核心逻辑 两类积分通过“切线方向余弦 (cosα,cosβ)(\cos\alpha, \cos\beta)(cosα,cosβ) 与坐标微分 (dx,dy)(dx, dy)(dx,dy) 、弧长 dsdsds 的关系”实现转换体现“变力做功 力沿切线方向分量的线积分”是曲线积分物理意义的完整表达 。
用两种方式计算同一个量所以推出上面的关系。
