网站 keyword title 字数,化妆品备案查询,焞煌网站怎么做,做美食网站的素材我们发现#xff0c;内积和外积都是和相对夹角相关#xff0c;而和一对向量的整体刚体变换无关。本讲用一种特别的角度#xff0c;从勾股定理出发#xff0c;把两个向量长度构成的矩形面积分解称内积和外积两个部分。两个向量的夹角#xff0c;在复数上可以表达为一个向量…我们发现内积和外积都是和相对夹角相关而和一对向量的整体刚体变换无关。本讲用一种特别的角度从勾股定理出发把两个向量长度构成的矩形面积分解称内积和外积两个部分。两个向量的夹角在复数上可以表达为一个向量和另一个向量共轭的乘积于是我们可以使用Hermite内积的结构。进一步我们发现Hermite内积将内积和外积分解到实部和虚部从而统一了二者。这样的结构在复Hilbert空间和量子力学中有重要的应用。继而我们推广到一般有限维度上的Hermite内积问题。这里面出现了复结构和辛矩阵。将来我们还可以在这些结构上过渡到辛几何。本讲的内容将来在许多地方都会遇到包括泛函分析的Hilbert空间、微分几何中的外代数、微分形式、张量以及复几何和辛几何等等。本讲将建立起基本的理解便于今后的进一步理解。广告高中生想快速学会微积分、线性代数尝试大学数学物理知识戳这里网上私教 学霸养成。上一讲在讲到正定二次型的时候提到内积。我们在中学已经接触到了内积和外积对这些概念略有一些物理直观。现在我们回到复平面用 的工具来深入了解这些概念并且得到一种重要的内积结构Hermit内积。Hermit内积与许多数学性质相关在泛函分析的算子理论和量子力学的数学基础上起着基础性的作用。深入地理解内积是对学习泛函分析大有帮助而深入地理解外积未来则将帮助我们开启外代数、外微分、外形式、symplectic结构等数学和物理领域。矩形与平行四边形的面积回顾中学知识中学数学和中学物理经常遇到的一个问题是平面两个向量所形成的平行四边形。中学学过了正交倘若两向量正交两向量的长度为 则两向量形成一个矩形面积为倘若两向量之间的夹角为 则两向量形成的平行四边形的面积为这个面积是有向的。中学物理中的力矩就是一个例子。力矩的大小相当于力和径向长度两向量之间的平行四边形面积且由夹角面积的符号方向决定力矩的符号方向。我们知道这个有向的平行四边形面积一般称为外积。外exterior是一个在微分几何中很常见的概念将来会具体谈。作为余面积的内积进一步我们认为夹角 决定了投影 它把两向量的矩形面积两向量间任意夹角的最大可能面积投影为平行四边形面积。即外积是某种总面积投影形成的。下面我们谈余co-这个字。正弦sin sine余弦cos cosine可见人们理解了正弦以后便可以认为余弦是正弦余下的某种东西或者当前者变化就要伴随co-着变化的某种东西。那么正弦和余弦之间靠什么联系呢靠宇宙第一真理我们所以在这里讲到如此初等的内容是为了让大家看到内积从某种意义上也是一种余面积。前面讲到总面积为 在夹角 时总面积投影成为外积 那么自然就得到了一个余面积 。它不是别的正是我们所数知的内积例如力向量和位移向量的内积就是功。夹角的描述共轭前面的讨论告诉我们外积和内积是总面积根据两向量夹角 进行的正交投影。夹角成为了最主要的因素。令两向量分别为其夹角为这个夹角是有方向的。于是外积和内积分别成为我们在第一讲中使用了中学数学的三角函数在 中研究过Euler公式。现在我们用类似的方法将内积和外积写成 中的向量等下我们将了解到这个等式右边就是Hermit内积定义中的共轭乘法。这个式子相当于复数运算其关键之处在于对第二个变元是共轭的从而在复数乘法中得到了两向量的夹角。Hermit内积综上向量 之间定义运算可以得到一个复数其实部为向量内积、虚部为向量外积。如此定义的运算可以证明是一个复内积称为Hermit内积。既然 是同构的我们在实平面 上构造向量我们注意到这两个向量的内积就是以上Hermit内积的实部而Hermit内积的虚部可以展开为真正有趣的是这个形似单位矩阵却又不同的东西在前面我们已经遇到过它见MP3SO(2)的求导算子谱分析和复结构zhuanlan.zhihu.com这个结构是一个复结构即它将是后面我们经常研究的对象。除了现在讨论的形式Hermit内积还可以有多维复向量的形式以及无穷维函数空间上平方可积的形式等等。无论那种形式其核心思想仍然是通过对其中一个变元的共轭将两个矢量的角度构造夹角从而能够实现某种”总面积“的正交投影。在量子力学中广泛出现的是波函数及其对偶空间上的bracket内积它是在复平方可积空间 上定义了左矢bra和右矢ket一对有序向量偶通过如上的共轭方式构成了积分形式的Hermit内积形成一个Hilbert空间。量子力学的大量基础模型即建立在这个空间上。多维Hermit内积和辛结构下面考虑把Hermit内积推广到多维向量 之间定义运算约定 表示由内部的分量构成一个向量令定义多维的Hermit内积为上式用到Einstein求和约定得到一个复数。既然 是同构的我们在实平面 上构造向量我们注意到这两个向量的内积就是以上Hermit内积的实部而Hermit内积的虚部可以展开为其中是分块矩阵由四个 维方阵构成。这个结构和前面一维情形提到的 非常相似于是 也是一个复结构。Hermit内积的虚部是以复结构 作为双线性映射来构造的称为symplectic结构或辛结构。 作为实空间的产物实内积就是数量乘法在多维的推广我们已经理解很深入了。更有趣的是外积的结构。目前我们将其理解为平行四边形的面积。然而外积的交错的形式在数学上有非常深入的探讨它将带领我们进入symplectic几何也就是所谓辛几何的领域。在详细讨论辛几何之前我们还要了解更多关于对偶空间的知识待我们深刻理解对偶空间上建立的最主要的代数结构——张量之后我们将能够继续深入探讨辛结构问题。
