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简单地说#xff0c;当一个非零整数除另一个整数得到整数商而没有余数时#xff0c;叫做整除。如62#xff1d;3#xff0c;就说2整除6或6能被2整除。
用数学语言描述#xff1a;若整数b除以非零整数a#xff0c;商为整数#xff0c;且余…整除的特征及解释 整除的含义
简单地说当一个非零整数除另一个整数得到整数商而没有余数时叫做整除。如6÷23就说2整除6或6能被2整除。
用数学语言描述若整数b除以非零整数a商为整数且余数为零b为被除数a为除数也就是b÷an……0 a、b、n是整数 且a≠0读作“a整除b”或“b能被a整除”记作a|b其中“|”是整除符号。a叫做b的约数或因数b叫做a的倍数。
整除属于除尽的一种特殊情况。
整除与除尽既有区别又有联系。除尽是指数b除以数aa≠0所得的商是整数或有限小数而余数是零时b能被a除尽或说a能除尽b。因此整除与除尽的区别是整除只有当被除数、除数以及商都是整数而余数是零。除尽并不局限于整数范围内被除数、除数以及商可以是整数也可以是有限小数只要余数是零就可以了。它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况。
顺便提示注意区分“除”和“除以”
b÷a读作“a除b”或“b除以a”
除以是被除数在前除数在后。
除是除数在前被除数在后。 一个数能被3或9整除的特征
如果一个数的各个位的和能被3或9整除那么这个数就能被3或9整除。
现在来看看为什么
解释一、对于任何整数我们可以将其表示为每个位上的数乘以其对应的10的幂之和。以一个四位数解释一个四位数ABCD可以表示为
ABCD 1000 × A 100 × B 10 × C D
这里的A、B、C、D分别代表千位、百位、十位和个位上的数字。现在如果将每个项分解我们可以得到
1000 × A 999 × A A
100 × B 99 × B B
10C 9 × C C
DD
将上述分解后的每项加起来我们得到
ABCD (999 × A A) (99 × B B) (9 × C C) D 999 × A 99 × B 9 × C (A B C D)
在上面的表达式中999 × A 99 × B 9 × C都是3或9的倍数。这意味着整个数ABCD能否被3或9整除取决于剩下的部分A B C D即这个数的各个位上的数字之和。
解释二、一个四位数ABCD可以表示为
ABCD 1000 × A 100 × B 10 × C D (9 1)^3×A (9 1)^2×B (9 1) ×C D
展开每一个二项式用9M表示9的倍数项这可以被写为
ABCD (9M 1^3)×A (9M 1^2)×B (9M 1)×C D 9M(A B C) (A B C D)
这意味着9M(A B C) (A B C D)能否被9整除取决于这个表达式最后部分(A B C D)也就是ABCD的各位数字之和能否被9整除能被9整除当然可被3整除9是3的倍数。 练习、判断457875、457876能被3或9整除吗 一个数能被11整除的数的特征
如果一个数奇数位之和与偶数位之和的差能被11整除则这个数能被11整除。假设位置编号从1开始从一端开始如从后往前数。
解释一、对于任何整数我们可以将其表示为每个位上的数乘以其对应的10的幂之和。以一个六位数解释一个六位数ABCDEF可以表示为
ABCDEF 100000 × A 10000 × B 1000 × C 100 × D 10 × E F
现在让我们将这个数按照奇数位和偶数位分开并考虑10的幂对11的性质
10^0 (即1) 除以11的余数是1。10^1 (即10) 除以11的余数是-1或者可以看作是10因为10 ≡ -1 (mod 11)。10^2 (即100) 除以11的余数是1因为100 ≡ 1 (mod 11)。10^3 (即1000) 除以11的余数是-1。以此类推10的幂次交替地给出余数1和-1。
利用这个性质我们可以将原来的数重写为
ABCDEF A × (10^5) B × (10^4) C × (10^3) D × (10^2) E × (10^1) F × (10^0) ≡ A × (-1) B × (1) C × (-1) D × (1) E × (-1) F × (1) (mod 11) ≡ -A B - C D - E F (mod 11)
现在如果我们取奇数位之和与偶数位之和的差
(奇数位置的数字和) - (偶数位置的数字和) (B D F)- (A C E)
由于我们在上面的等式中看到奇数位的数是带负号的而偶数位的数是带正号的这个差实际上就是原数除以11后的余数。如果这个差能被11整除即余数为0那么原数也能被11整除。反之如果这个差不能被11整除那么原数也不能被11整除。这就是为什么一个数的奇数位之和与偶数位之和的差能被11整除那么这个数本身就能被11整除的原因。
解释二、考虑十进制数ABCDEF
ABCDEF 100000 × A 10000 × B 1000 × C 100 × D 10 × E F (11-1)^5×A (11-1)^4×B (11-1)^3×C (11-1)^2×D (11-1) ×E F
展开每一个二项式用11M表示11的倍数项这可以被写为
ABCDEF [11M(-1)^5]×A [11M(-1)^4]×B [11M(-1)^3]×C [11M(-1)^2]×D [11M(-1)]×E F [11M - 1]×A [11M 1]×B [11M-1]×C [11M1]×D [11M-1]×E F 11M×(A B C D E ) (-A B - C D - E F)
这意味着11M×(A B C D E ) (-A B - C D - E F)能否被11整除取决于这个表达式最后部分-A B - C D - F E (BDF)-(ACE) (奇数位置的数字和) - (偶数位置的数字和)。 练习、判断24847291、24847251能被11整除吗 附录、二项展开式定理 二项展开式的系数规律
