网站策划制作公司 北京,wordpress显示头像的节点,asp手机网站自动跳转,为什么是in the wordpress从零理解范数与迹 —— 求极小多项式 写在前面概念解释题目解答 1. 极小多项式极小多项式的求法1. 对 α \alpha α 的极小多项式python求解 2. 对 α 1 \alpha 1 α1 的极小多项式python找到多项式python找到极小多项式 3. 对 α 2 α 1 \alpha^2 \alpha 1 α2α1 的… 从零理解范数与迹 —— 求极小多项式 写在前面概念解释题目解答 1. 极小多项式极小多项式的求法1. 对 α \alpha α 的极小多项式python求解 2. 对 α 1 \alpha 1 α1 的极小多项式python找到多项式python找到极小多项式 3. 对 α 2 α 1 \alpha^2 \alpha 1 α2α1 的极小多项式python求解 prompt 写在前面
欢迎来到我们的数学探索之旅在这篇博客中我们将深入探讨两个在代数领域极为重要的概念范数和迹。 这些概念不仅在理论数学中扮演着核心角色而且在实际应用中如密码学和数值分析中也有着广泛的应用。 我们的目标是从零开始帮助完全理解这些概念以及如何在实际问题中求解它们。 首先我们将简要解释什么是范数和迹这些概念虽然抽象但在理解代数结构和解决复杂的数学问题时非常关键。 范数 是一个数域中元素的一个基本属性代表其“大小”或“长度” 而 迹 则是衡量数域中元素的一种方式反映了其所有共轭元素的总和。 然后我们会通过一系列具体的题目逐步引导你如何计算范数和迹以及如何找到一个元素的极小多项式——这是求解范数和迹的关键步骤。
关于解答 极小多项式我们会详细解释什么是极小多项式以及如何求得它。极小多项式是理解范数和迹的基础它提供了一种有效的方式来探讨数域中的元素。 极小多项式的求法我们将介绍如何手动和使用Python来求解极小多项式确保你能够在不同的情境下都能找到解答。 针对具体元素的极小多项式我们将逐一解析不同元素如 α \alpha α, α 1 \alpha1 α1, α 2 α 1 \alpha^2 \alpha 1 α2α1的极小多项式并展示如何使用Python来辅助求解。
通过这篇博客希望能够帮助更好地理解这些复杂但基础的代数概念并在实际问题中运用它们。
让我们一起开始这次数学之旅吧
概念解释 数域Number Field数域是复数域的子集包含有理数域 Q \mathbb{Q} Q 及其扩展。例如 2 3 Q \sqrt[3]{2}\mathbb{Q} 32 Q 是有理数域扩展的数域。 极小多项式Minimal Polynomial一个代数数的极小多项式是具有最低次数的首一多项式leading coefficient is 1且该多项式以该代数数为根。 范数Norm一个数域中元素的范数是其最小多项式的所有根的乘积。 迹Trace一个数域中元素的迹是其最小多项式的所有根的和。
题目
设 α 2 3 − 2 \alpha \sqrt[3]{2} \sqrt{-2} α32 −2 , K Q ( α ) K \mathbb{Q}(\alpha) KQ(α)试求 α \alpha α, α 1 \alpha 1 α1, α 2 α 1 \alpha^2 \alpha 1 α2α1 在 Q \mathbb{Q} Q 上的极小多项式 N ( 2 ) N(2) N(2), N ( 2 3 ) N(\sqrt[3]{2}) N(32 ), N ( − 2 ) N(\sqrt{-2}) N(−2 ), N ( α ) N(\alpha) N(α), N ( α 5 ) N(\alpha 5) N(α5), N ( 2 3 − 2 1 ) N(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}1) N(32 −2 1) 的范数 N K ( 2 ) N_K(2) NK(2), N K ( 2 3 ) N_K(\sqrt[3]{2}) NK(32 ), N K − 2 N_K\sqrt{-2} NK−2 , N K ( α 5 ) N_K(\alpha 5) NK(α5), N K ( 2 3 − 2 1 ) N_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}1) NK(32 −2 1) 的数域 K K K 范数 T ( 2 ) T(2) T(2), T ( 2 3 ) T(\sqrt[3]{2}) T(32 ), T ( − 2 ) T(\sqrt{-2}) T(−2 ), T ( α ) T(\alpha) T(α), T ( α 5 ) T(\alpha 5) T(α5), T ( 2 3 − 2 1 ) T(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}1) T(32 −2 1) 的迹 T K ( 2 ) T_K(2) TK(2), T K ( 2 3 ) T_K(\sqrt[3]{2}) TK(32 ), T K ( − 2 ) T_K(\sqrt{-2}) TK(−2 ), T K ( α 5 ) T_K(\alpha 5) TK(α5), T K ( 2 3 − 2 1 ) T_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}1) TK(32 −2 1) 的数域 K K K 迹。
解答
极小多项式 对于 α \alpha α我们首先需要找到一个有理系数的多项式使 α \alpha α 是其根。由于 α 2 3 − 2 \alpha \sqrt[3]{2} \sqrt{-2} α32 −2 我们可以构建一个多项式 ( x − 2 3 − − 2 ) (x - \sqrt[3]{2} - \sqrt{-2}) (x−32 −−2 )并进行多项式扩展来找到其极小多项式。对于 α 1 \alpha 1 α1 和 α 2 α 1 \alpha^2 \alpha 1 α2α1采用类似的方法。 1. 极小多项式
【题目】设 α 2 3 − 2 \alpha \sqrt[3]{2} \sqrt{-2} α32 −2 , K Q ( α ) K \mathbb{Q}(\alpha) KQ(α)试求 α \alpha α, α 1 \alpha 1 α1, α 2 α 1 \alpha^2 \alpha 1 α2α1 在 Q \mathbb{Q} Q 上的极小多项式 要解决这个问题我们需要先确定 α 2 3 − 2 \alpha \sqrt[3]{2} \sqrt{-2} α32 −2 的极小多项式然后用同样的方法找到 α 1 \alpha 1 α1 和 α 2 α 1 \alpha^2 \alpha 1 α2α1 的极小多项式。 极小多项式 是一个在给定数域这里是 Q \mathbb{Q} Q上不能被更低阶多项式整除的首一多项式且该多项式以所考虑的元素为根。 极小多项式的求法 构造多项式首先构造一个多项式使得 α \alpha α 是它的根。我们可以通过消去根中的根号来做到这一点。 验证多项式的不可约性验证所构造的多项式在 Q \mathbb{Q} Q 上是不可约的即它不能被分解成更低阶的多项式的乘积。 1. 对 α \alpha α 的极小多项式
表达式变换设 f ( x ) x − α x − 2 3 − − 2 f(x) x - \alpha x - \sqrt[3]{2} - \sqrt{-2} f(x)x−αx−32 −−2 。消去根号 首先处理 2 3 \sqrt[3]{2} 32 ( x − − 2 ) 3 2 x 3 − 3 x 2 − 2 6 x − 2 − 2 − 2 0 \begin{align*} (x - \sqrt{-2})^3 2 \\ x^3 - 3x^2\sqrt{-2} 6x - 2\sqrt{-2} - 2 0 \\ \end{align*} (x−−2 )3x3−3x2−2 6x−2−2 −220 然后处理 − 2 \sqrt{-2} −2 通过平方两边来消除根号 ( x 3 6 x − 2 ) 2 ( 3 x 2 − 2 2 − 2 ) 2 x 6 6 x 4 − 4 x 3 12 x 2 24 x 12 0 \begin{align*} (x^3 6x - 2)^2 (3x^2\sqrt{-2} 2\sqrt{-2})^2\\ x^6 6x^4 - 4x^3 12x^2 24x 12 0 \\ \end{align*} (x36x−2)2x66x4−4x312x224x12(3x2−2 2−2 )20 因此 α \alpha α 的极小多项式为 f ( x ) x 6 6 x 4 − 4 x 3 12 x 2 24 x 12 f(x) x^6 6x^4 - 4x^3 12x^2 24x 12 f(x)x66x4−4x312x224x12。 python求解
为了找到 α 2 3 − 2 \alpha \sqrt[3]{2} \sqrt{-2} α32 −2 在 Q \mathbb{Q} Q 上的极小多项式我们将使用 Python 的 SymPy 库中的 minimal_polynomial 函数。这个函数可以帮助我们找到一个不可约的多项式该多项式在 Q \mathbb{Q} Q 上有 α \alpha α 为根。
让我们开始计算 α \alpha α 的极小多项式
from sympy import symbols, I, expand, sqrt, cbrt, minimal_polynomial# 定义符号
x symbols(x)# 定义 alpha
alpha cbrt(2) sqrt(-2)# 计算 alpha 其极小多项式
min_poly_alpha minimal_polynomial(alpha, x)# 展开多项式并获取系数
expanded_min_poly_alpha expand(min_poly_alpha)expanded_min_poly_alpha, min_poly_alpha.as_expr() 我们找到了 α 2 3 − 2 \alpha \sqrt[3]{2} \sqrt{-2} α32 −2 的极小多项式该多项式是 f ( x ) x 6 6 x 4 − 4 x 3 12 x 2 24 x 12 f(x) x^6 6x^4 - 4x^3 12x^2 24x 12 f(x)x66x4−4x312x224x12非常好和我们手动计算的结果一致。
这个多项式是在 Q \mathbb{Q} Q 上不可约的并且它使得 f ( α ) 0 f(\alpha) 0 f(α)0。因此这是 α 2 3 − 2 \alpha \sqrt[3]{2} \sqrt{-2} α32 −2 在 Q \mathbb{Q} Q 上的极小多项式。通过使用 SymPy 的 minimal_polynomial 函数我们能够直接计算出这个多项式避免了手动进行复杂的代数运算。 2. 对 α 1 \alpha 1 α1 的极小多项式
我们用类似的方法来处理 α 1 \alpha 1 α1。
设 β α 1 2 3 − 2 1 \beta \alpha 1 \sqrt[3]{2} \sqrt{-2} 1 βα132 −2 1。我们的目标是找到一个多项式 g ( x ) g(x) g(x)使得 g ( β ) 0 g(\beta) 0 g(β)0。 表达式变换设 g ( x ) x − β x − 2 3 − − 2 − 1 g(x) x - \beta x - \sqrt[3]{2} - \sqrt{-2} - 1 g(x)x−βx−32 −−2 −1 消去根号 首先处理 2 3 \sqrt[3]{2} 32 ( x − − 2 − 1 ) 3 2 x 3 − 3 x 2 ( − 2 1 ) 3 x ( 2 − 2 1 ) − ( 1 3 − 2 2 ) 0 \begin{align*} (x - \sqrt{-2} - 1)^3 2 \\ x^3 - 3x^2(\sqrt{-2} 1) 3x(2\sqrt{-2} 1) - (1 3\sqrt{-2} 2) 0 \\ \end{align*} (x−−2 −1)32x3−3x2(−2 1)3x(2−2 1)−(13−2 2)0 然后处理平方根 − 2 \sqrt{-2} −2 通过平方整个表达式来消除 − 2 \sqrt{-2} −2 得到一个仅含有理数系数的多项式。 得到多项式 得到的多项式 g ( x ) g(x) g(x) 就是 β \beta β 的一个候选多项式。这一步骤需要一些代数操作涉及到较为复杂的乘法和整理。因此直接用python来代替完成。 python找到多项式
要找到 α 1 \alpha 1 α1 在 Q \mathbb{Q} Q 上的极小多项式我们首先定义 α 1 \alpha 1 α1然后构造一个多项式使得 α 1 \alpha 1 α1 是它的根。通过消除根号来构建这个多项式最后验证这个多项式的不可约性。我们将使用 Python 来辅助计算。
设 α 2 3 − 2 \alpha \sqrt[3]{2} \sqrt{-2} α32 −2 则 α 1 2 3 − 2 1 \alpha 1 \sqrt[3]{2} \sqrt{-2} 1 α132 −2 1。我们的目标是找到一个多项式 f ( x ) f(x) f(x)使得 f ( α 1 ) 0 f(\alpha 1) 0 f(α1)0。
我们可以通过以下步骤来找到这个多项式 将 α 1 \alpha 1 α1 代入 x x x 中得到 f ( x ) x − ( α 1 ) f(x) x - (\alpha 1) f(x)x−(α1)。 消除表达式中的根号使其成为一个只包含有理数系数的多项式。 确认这个多项式是不可约的。
让我们使用 Python 来进行这些计算。
from sympy import symbols, expand, sqrt, cbrt, Poly, simplify# 定义符号
x symbols(x)# 定义 alpha 和 alpha 1
alpha cbrt(2) sqrt(-2)
alpha_plus_one alpha 1# 构造多项式 f(x) x - (alpha 1)
f_x x - alpha_plus_one# 展开并简化多项式
expanded_f_x expand(f_x**6)# 生成多项式并提取系数
polynomial Poly(expanded_f_x, x)
coefficients polynomial.all_coeffs()# 简化系数
simplified_coefficients [simplify(coef) for coef in coefficients]simplified_coefficients, polynomial.as_expr() 我们找到了 α 1 \alpha 1 α1 的一个多项式表示。多项式 f ( x ) f(x) f(x) 的系数是 f ( x ) x 6 ( − 6 2 3 − 6 − 6 2 i ) x 5 ( − 15 15 4 3 30 2 3 30 2 i 30 32 6 i ) x 4 ( − 60 4 3 60 60 2 3 − 120 32 6 i − 120 8 6 i − 20 2 i ) x 3 ( − 270 2 3 − 90 4 3 15 60 2 i 60 32 6 i 360 8 6 i ) x 2 ( 114 150 2 3 288 4 3 − 174 2 i − 120 8 6 i 60 32 6 i ) x 173 − 93 4 3 − 24 2 3 − 96 8 6 i − 6 32 6 i 30 2 i f(x) x^6 (-6\sqrt[3]{2} - 6 - 6\sqrt{2}i)x^5 (-15 15\sqrt[3]{4} 30\sqrt[3]{2} 30\sqrt{2}i 30\sqrt[6]{32}i)x^4 (-60\sqrt[3]{4} 60 60\sqrt[3]{2} - 120\sqrt[6]{32}i - 120\sqrt[6]{8}i - 20\sqrt{2}i)x^3 (-270\sqrt[3]{2} - 90\sqrt[3]{4} 15 60\sqrt{2}i 60\sqrt[6]{32}i 360\sqrt[6]{8}i)x^2 (114 150\sqrt[3]{2} 288\sqrt[3]{4} - 174\sqrt{2}i - 120\sqrt[6]{8}i 60\sqrt[6]{32}i)x 173 - 93\sqrt[3]{4} - 24\sqrt[3]{2} - 96\sqrt[6]{8}i - 6\sqrt[6]{32}i 30\sqrt{2}i f(x)x6(−632 −6−62 i)x5(−151534 3032 302 i30632 i)x4(−6034 606032 −120632 i−12068 i−202 i)x3(−27032 −9034 15602 i60632 i36068 i)x2(11415032 28834 −1742 i−12068 i60632 i)x173−9334 −2432 −9668 i−6632 i302 i
这个多项式是 α 1 \alpha 1 α1 的一个可能的极小多项式。但要注意它可能不是最低阶的极小多项式。为了确保我们找到的是极小多项式需要进一步检查这个多项式的不可约性。这通常需要使用专门的代数软件或理论方法因为不可约性的判断可能非常复杂。如果这个多项式是可约的我们还需要进一步降低其阶数直到找到一个在 Q \mathbb{Q} Q 上不可约的多项式。 python找到极小多项式
要找到 α 1 \alpha 1 α1 在 Q \mathbb{Q} Q 上的极小多项式我们将使用 Python 的 SymPy 库来帮助我们进行符号计算。我们首先定义 α 2 3 − 2 \alpha \sqrt[3]{2} \sqrt{-2} α32 −2 然后通过适当的代数运算来构造一个多项式 f ( x ) f(x) f(x)使得 f ( α 1 ) 0 f(\alpha 1) 0 f(α1)0。接下来我们需要确保这个多项式是不可约的这通常可以通过检查它是否能被分解为更低阶的多项式来完成。
让我们开始这个过程
from sympy import symbols, I, expand, sqrt, cbrt, minimal_polynomial# 定义符号
x symbols(x)# 定义 alpha 和 alpha 1
alpha cbrt(2) sqrt(-2)
alpha_plus_one alpha 1# 计算 alpha 1 的极小多项式
min_poly_alpha_plus_one minimal_polynomial(alpha_plus_one, x)# 展开多项式并获取系数
expanded_min_poly expand(min_poly_alpha_plus_one)expanded_min_poly, min_poly_alpha_plus_one.as_expr() 我们找到了 α 1 \alpha 1 α1 的极小多项式该多项式是 f ( x ) x 6 − 6 x 5 21 x 4 − 48 x 3 75 x 2 − 42 x 11 f(x) x^6 - 6x^5 21x^4 - 48x^3 75x^2 - 42x 11 f(x)x6−6x521x4−48x375x2−42x11
这个多项式是在 Q \mathbb{Q} Q 上不可约的并且它使得 f ( α 1 ) 0 f(\alpha 1) 0 f(α1)0。因此这是 α 1 2 3 − 2 1 \alpha 1 \sqrt[3]{2} \sqrt{-2} 1 α132 −2 1 在 Q \mathbb{Q} Q 上的极小多项式。通过使用 SymPy 的 minimal_polynomial 函数我们能够直接计算出这个多项式这样就避免了手动进行复杂的代数运算。
3. 对 α 2 α 1 \alpha^2 \alpha 1 α2α1 的极小多项式
同样设 h ( x ) x − ( α 2 α 1 ) h(x) x - (\alpha^2 \alpha 1) h(x)x−(α2α1) 并重复以上步骤。
注意这里提供的是计算极小多项式的一般方法具体计算可能非常复杂尤其是涉及到更高次方和根号。在实际操作中可能需要使用计算软件来辅助完成这些计算。此外验证多项式的不可约性也是一个重要步骤可能需要使用专业的数学软件或理论知识。
python求解
为了求出 α 2 α 1 \alpha^2 \alpha 1 α2α1 在 Q \mathbb{Q} Q 上的极小多项式其中 α 2 3 − 2 \alpha \sqrt[3]{2} \sqrt{-2} α32 −2 我们将使用 Python 的 SymPy 库中的 minimal_polynomial 函数。这个函数能够帮助我们找到一个不可约的多项式该多项式在 Q \mathbb{Q} Q 上有 α 2 α 1 \alpha^2 \alpha 1 α2α1 为根。
让我们计算 α 2 α 1 \alpha^2 \alpha 1 α2α1 的极小多项式
from sympy import symbols, I, expand, sqrt, cbrt, minimal_polynomial# 定义符号
x symbols(x)# 定义 alpha 和 alpha 1
alpha cbrt(2) sqrt(-2)
alpha_plus_one alpha 1
# 定义 alpha^2 alpha 1
alpha_squared_plus_alpha_plus_one alpha**2 alpha 1# 计算 alpha^2 alpha 1 的极小多项式
min_poly_alpha_squared minimal_polynomial(alpha_squared_plus_alpha_plus_one, x)# 展开多项式并获取系数
expanded_min_poly_alpha_squared expand(min_poly_alpha_squared)expanded_min_poly_alpha_squared, min_poly_alpha_squared.as_expr()我们找到了 α 2 α 1 \alpha^2 \alpha 1 α2α1 其中 α 2 3 − 2 \alpha \sqrt[3]{2} \sqrt{-2} α32 −2 在 Q \mathbb{Q} Q 上的极小多项式该多项式是 f ( x ) x 6 6 x 5 9 x 4 176 x 3 615 x 2 − 1062 x 387 f(x) x^6 6x^5 9x^4 176x^3 615x^2 - 1062x 387 f(x)x66x59x4176x3615x2−1062x387
这个多项式是在 Q \mathbb{Q} Q 上不可约的并且它使得 f ( α 2 α 1 ) 0 f(\alpha^2 \alpha 1) 0 f(α2α1)0。因此这是 α 2 α 1 \alpha^2 \alpha 1 α2α1 在 Q \mathbb{Q} Q 上的极小多项式。通过使用 SymPy 的 minimal_polynomial 函数我们能够直接计算出这个多项式从而避免了手动进行复杂的代数运算。
prompt
你是代数学专家这是范数与迹——求数域元素的范数与迹的习题。 请你请给出完整的题目、题目相关的概念解释、具体的答案解析。 请用md语法编辑$latex符号、公式$。例如将 \( \sqrt[3]{2}\mathbb{Q} \)转换为 2 3 Q \sqrt[3]{2}\mathbb{Q} 32 Q
你是代数学专家这是范数与迹——求数域元素的范数与迹的习题。 给出清晰详细的计算过程以及具体的答案 请用md语法编辑$latex符号、公式$。例如将 \( \sqrt[3]{2}\mathbb{Q} \)转换为 2 3 Q \sqrt[3]{2}\mathbb{Q} 32 Q
你是代数学专家这是范数与迹——求数域元素的范数与迹的习题。 给出清晰详细的计算过程以及具体的答案。可以用python 中 SymPy 的 minimal_polynomial 函数求解 请用md语法编辑$latex符号、公式$。例如将 \( \sqrt[3]{2}\mathbb{Q} \)转换为 2 3 Q \sqrt[3]{2}\mathbb{Q} 32 Q 【题目】
