门户网站首页,北京培训机构,建设网络平台交印花税,合作网站seoHermite矩阵的特征值估计——courant-fischer定理
一、courant-fischer定理#xff08;min-max定理#xff09;
将hermite矩阵的特征值表示为一系列最优化问题的解。
一个函数 R ( x ) x H A x x H x R(x)\frac{x^HAx}{x^Hx} R(x)xHxxHAx#xff0c;称为Rayleigh商min-max定理
将hermite矩阵的特征值表示为一系列最优化问题的解。
一个函数 R ( x ) x H A x x H x R(x)\frac{x^HAx}{x^Hx} R(x)xHxxHAx称为Rayleigh商A是hermite矩阵 λ m i n min x ≠ 0 R ( x ) \lambda_{min} \min_{x\ne0} R(x) λminminx0R(x) λ m a x max x ≠ 0 R ( x ) \lambda_{max} \max_{x\ne0} R(x) λmaxmaxx0R(x) λ k m i n d i m ( U ) k max x ∈ U , x ≠ 0 R ( x ) \lambda_{k} min_{dim(U)k} \max_{x\in U,x\ne0} R(x) λkmindim(U)kmaxx∈U,x0R(x) λ k m a x d i m ( U ) n − k 1 min x ∈ U , x ≠ 0 R ( x ) \lambda_{k} max_{dim(U)n-k1} \min_{x\in U,x\ne0} R(x) λkmaxdim(U)n−k1minx∈U,x0R(x)
该定理的2、3是容易证明和理解的。如果不能深入理解子空间的含义将难以理解4、5。
首先给出4、5的另外一种表述 λ 1 ≤ λ 2 ≤ ⋯ ≤ λ n , k n , n − 1 , ⋯ , 1 λ k min w 1 , w 2 , ⋯ , w n − k ∈ C n max x ≠ 0 , x ∈ C n , x ⊥ w 1 , w 2 , ⋯ , w n − k R ( x ) λ k max w 1 , w 2 , ⋯ , w k − 1 ∈ C n min x ≠ 0 , x ∈ C n , x ⊥ w 1 , w 2 , ⋯ , w k − 1 R ( x ) \lambda_1 \le \lambda_2 \le \cdots \le \lambda_n,kn,n-1,\cdots,1\\ \lambda_k \min_{w_1,w_2,\cdots,w_{n-k}\in C^n} \max_{x\ne0,x\in C^n,\atop x\perp w_1,w_2,\cdots,w_{n-k}} R(x)\\ \lambda_k \max_{w_1,w_2,\cdots,w_{k-1}\in C^n} \min_{x\ne0,x\in C^n,\atop x\perp w_1,w_2,\cdots,w_{k-1}} R(x) λ1≤λ2≤⋯≤λn,kn,n−1,⋯,1λkw1,w2,⋯,wn−k∈Cnminx⊥w1,w2,⋯,wn−kx0,x∈Cn,maxR(x)λkw1,w2,⋯,wk−1∈Cnmaxx⊥w1,w2,⋯,wk−1x0,x∈Cn,minR(x) 关注4。
1️⃣当kn时U是n维复空间 V ( C n ) V(C^n) V(Cn)当x旋转到和 λ n \lambda_n λn的特征向量共线的时候 λ n λ m a x \lambda_n\lambda_{max} λnλmax。
2️⃣当kn-1时U是n-1维复空间 U ⊂ V ( C n ) U \subset V(C^n) U⊂V(Cn)这样的子空间有无穷多个可以想象三维空间中有无穷多个二维平面。当这个空间包含了 λ n \lambda_n λn的特征子空间的时候 max x ∈ U , x ≠ 0 R ( x ) λ m a x λ n \max_{x\in U,x\ne0} R(x)\lambda_{max}\lambda_n maxx∈U,x0R(x)λmaxλn。注意本定理名叫min-max定理此时还仅仅只考虑极大那部分。
对于 m i n d i m ( U ) k min_{dim(U)k} mindim(U)k该min符号的含义是在无穷个n-1维复空间中要找到一个U使得以U为可行域的函数 max x ∈ U , x ≠ 0 R ( x ) \max_{x\in U,x\ne0} R(x) maxx∈U,x0R(x)取得最小值。U的取法就是排除 λ n \lambda_n λn的特征子空间也就是说 λ n \lambda_n λn的特征向量不属于U或者说和U的基向量正交。
此时的max部分由于U不包含 λ n \lambda_n λn的特征子空间那么 max x ∈ U , x ≠ 0 R ( x ) m a x ( λ ( A ) − { λ n } ) λ n − 1 \max_{x\in U,x\ne0} R(x)max(\lambda(A)-\{\lambda_n\})\lambda_{n-1} maxx∈U,x0R(x)max(λ(A)−{λn})λn−1
3️⃣对于kn-2是同样的理解方式只不过取min的时候要排除掉 λ n 和 λ n − 1 \lambda_n和\lambda_{n-1} λn和λn−1。
关于该定理数学上的证明可参考特征值的重要定理Courant-Fischer min-max theorem 极大极小定理
二、韦尔定理Weyl定理
对于一个n阶Hermite矩阵A受到一个n阶Hermite矩阵B的扰动那么AB的第k个特征值满足 λ k ( A ) λ m i n ( B ) ≤ λ k ( A B ) ≤ λ k ( A ) λ m a x ( B ) \lambda_k(A)\lambda_{min}(B)\le\lambda_k(AB)\le\lambda_k(A)\lambda_{max}(B) λk(A)λmin(B)≤λk(AB)≤λk(A)λmax(B) 证明由min-max定理容易证得。
