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2023年11月25日 #controlsys 文章目录 能控性与能观性1. 能控性1.1 能控性#xff08;可控性#xff09;的引入1.2 LTI系统的可控性1.3 LTV系统的可控性 2. 能观性2.1 能观性#xff08;可观性#xff09;引入2.2 LTI系统的可观性2.3 LTV系统的可观性 3. 状…能控性与能观性
2023年11月25日 #controlsys 文章目录 能控性与能观性1. 能控性1.1 能控性可控性的引入1.2 LTI系统的可控性1.3 LTV系统的可控性 2. 能观性2.1 能观性可观性引入2.2 LTI系统的可观性2.3 LTV系统的可观性 3. 状态向量的非奇异线性变换3.1 LTI能控性分解3.2 LTI能观性分解3.3 Kalman分解定理 5. 其他5.1 对偶定理5.2 能控性能观性和传递函数的关系5.3 一些题目 下链 1. 能控性
1.1 能控性可控性的引入
能控性问题 系统内部的所有状态是否可受输入的影响而改变 可控性与可达性的对比
可控性由任意非零状态转到零状态可以找到一个输入量 u {u} u 使得可达性由零状态转移到任意非零状态 对LTI系统可控性 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 可达性 对离散或时变系统可控性 ⇎ \not\Leftrightarrow ⇔ 可达性
1.2 LTI系统的可控性
Gram矩阵判据 系统完全能控 ⇔ W c ( 0 , t 1 ) ∫ 0 t 1 e − A t B B T e − A T t d t 非奇异 系统完全能控\Leftrightarrow W_c(0,t_1) \int_{ 0 }^{t_1}e^{-At}BB^ \mathrm Te^{-A^ \mathrm Tt} \mathrm dt非奇异 系统完全能控⇔Wc(0,t1)∫0t1e−AtBBTe−ATtdt非奇异
秩判据 系统完全能控 ⇔ rank ( [ B , A B , A 2 B , ⋯ , A n − 1 B ] ) n 系统完全能控 \Leftrightarrow \text{rank}([B,AB,A^2B, \cdots ,A^{n-1}B])n 系统完全能控⇔rank([B,AB,A2B,⋯,An−1B])n [!example]- A [ 0 1 0 0 0 1 − 2 − 4 − 3 ] , B [ 1 0 0 1 − 1 1 ] A \begin{bmatrix} 0 1 0 \\ 0 0 1 \\ -2 -4 -3 \end{bmatrix} \,\,,\,\, B \begin{bmatrix} 10\\01\\-11 \end{bmatrix} A 00−210−401−3 ,B 10−1011 Q c [ B A B A 2 B ] [ 1 0 0 1 − 1 1 0 1 − 1 1 1 − 7 − 1 1 1 − 7 1 15 ] rank ( Q c ) 3 \begin{align*} Q_c [B \,\,\, AB \,\,\, A^2B] \\ \\ \begin{bmatrix} 1001-11\\01-111-7\\-111-7115 \end{bmatrix} \\ \\ \text{rank}(Q_c)3 \end{align*} Qcrank(Qc)[BABA2B] 10−10110−1111−7−1111−715 3 所以系统状态完全能控。 PBH秩判据 系统完全能控 ⇔ rank ( [ λ i I − A , B ] ) n 系统完全能控 \Leftrightarrow \text{rank}([\lambda_iI-A,B])n 系统完全能控⇔rank([λiI−A,B])n
Jordan规范型时候的判据
若系统矩阵 A {A} A 为对角阵且特征值两两相异 系统完全能控 ⇔ B 矩阵无全零行 系统完全能控 \Leftrightarrow B矩阵无全零行 系统完全能控⇔B矩阵无全零行若系统矩阵 A {A} A 为Jordan规范型 系统完全能控 ⇔ 1. A 矩阵每个 J o r d a n 块的最后一行对应的 B 矩阵的行不是全零行且 2. A 矩阵相同特征值的 J o r d a n 块的最后一行对应的 B 矩阵的行线性无关 \begin{align*} 系统完全能控 \Leftrightarrow \\ \\ 1.A矩阵每个Jordan块的最后一行对应的B矩阵的行不是全零行 且 \\ \\ 2.A矩阵相同特征值的Jordan块的最后一行对应的B矩阵的行线性无关 \end{align*} 1.2.系统完全能控⇔A矩阵每个Jordan块的最后一行对应的B矩阵的行不是全零行且A矩阵相同特征值的Jordan块的最后一行对应的B矩阵的行线性无关 [!example]- [ x ˙ 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ x ˙ 8 ] [ − 1 1 − 1 − 1 − 1 2 1 2 2 5 ] [ x 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ x 8 ] [ 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 1 2 0 0 3 3 8 0 0 ] [ u 1 u 2 u 3 ] \begin{bmatrix} \dot x_1\\ \vdots \\ \vdots \\ \vdots \\ \vdots \\ \dot x_8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 1\\ -1\\ -1\\ -1\\ 21\\2\\ 2\\ 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ \vdots \\ \vdots \\ \vdots \\ \vdots \\ x_8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 000\\100\\020\\004\\000\\120\\033\\800 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_1\\u_2\\u_3 \end{bmatrix} x˙1⋮⋮⋮⋮x˙8 −11−1−1−121225 x1⋮⋮⋮⋮x8 010001080020023000040030 u1u2u3 第 2 3 4 6 7 8 {234678} 234678 行 B {B} B 矩阵满足条件 1 {1} 1 第 2 3 4 {234} 234 行 B {B} B 矩阵行线性无关满足条件 2 {2} 2 第 6 7 {67} 67 行 B {B} B 矩阵行线性无关满足条件 2 {2} 2 所以该LTI系统完全能控。 [!example]- 元素 b i ≠ 0 , i 1 , 2 , 3 , 4 {b_i\ne 0,i1,2,3,4} bi0,i1,2,3,4 且两两相异判断系统可控性 [ x ˙ 1 x ˙ 2 x ˙ 3 x ˙ 4 ] [ λ 1 λ 1 λ 1 λ 1 ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] u \begin{bmatrix} \dot x_1\\\dot x_2\\\dot x_3\\\dot x_4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1\\ \lambda_1 \\ \lambda_1 \\ \lambda_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1\\b_2\\b_3\\b_4 \end{bmatrix}u x˙1x˙2x˙3x˙4 λ1λ1λ1λ1 x1x2x3x4 b1b2b3b4 u 解 由于 λ 1 { \lambda_1 } λ1 有四个Jordan块 b i ≠ 0 {b_i\ne 0} bi0 满足条件 1 {1} 1 但 b i {b_i} bi 均为常数即 B {B} B 矩阵行线性相关不满足条件 2 {2} 2 所以系统不完全可控。 1.3 LTV系统的可控性
通过秩判据LTV系统的可控性秩判据矩阵如下 rank ( A ) n B 1 ( t ) B ( t ) B i ( t ) − A ( t ) B i − 1 ( t ) B ˙ i − 1 ( t ) , i 1 , ⋯ , n Q c ( t ) [ B 1 ( t ) ⋯ B n ( t ) ] rank ( Q c ( t ) ) n ⟺ 系统状态完全能控 \begin{align*} \text{rank}(A)n \\ \\ B_1(t) B(t) \\ \\ B_i(t)-A(t) B_{i-1}(t) \dot B_{i-1}(t) \,\,,\,\, i1,\cdots ,n\\ \\ Q_c(t) [B_1(t) \cdots B_{n}(t)] \\ \\ \text{rank}(Q_c(t))n \iff 系统状态完全能控 \end{align*} rank(A)B1(t)Bi(t)Qc(t)rank(Qc(t))nB(t)−A(t)Bi−1(t)B˙i−1(t),i1,⋯,n[B1(t)⋯Bn(t)]n⟺系统状态完全能控 [!example]- 判断下列系统是否为完全能控 x ˙ [ t 1 0 0 t 0 0 0 t 2 ] x [ 0 1 1 ] u , t ∈ [ 0 , 2 ] \dot x \begin{bmatrix} t 1 0 \\ 0 t 0 \\ 0 0 t^2 \end{bmatrix}x \begin{bmatrix} 0\\1\\1 \end{bmatrix}u \,\,,\,\, t\in[0,2] x˙ t001t000t2 x 011 u,t∈[0,2] 解由题可得 A ( t ) [ t 1 0 0 t 0 0 0 t 2 ] , B ( t ) [ 0 1 1 ] A(t) \begin{bmatrix} t10\\0t0\\00t^2 \end{bmatrix} \,\,,\,\, B(t) \begin{bmatrix} 0\\1\\1 \end{bmatrix} A(t) t001t000t2 ,B(t) 011 B 1 ( t ) B ( t ) [ 0 1 1 ] B_1(t)B(t) \begin{bmatrix} 0\\1\\1 \end{bmatrix} B1(t)B(t) 011 B 2 ( t ) − A ( t ) B 1 ( t ) B ˙ 1 ( t ) [ − 1 − t − t 2 ] B_2(t)-A(t)B_1(t)\dot B_1(t) \begin{bmatrix} -1\\-t\\-t^2 \end{bmatrix} B2(t)−A(t)B1(t)B˙1(t) −1−t−t2 B 3 ( t ) − A ( t ) B 2 ( t ) B ˙ 2 ( t ) [ 2 t t 2 − 1 t 4 − 2 t ] B_3(t)-A(t)B_2(t)\dot B_2(t) \begin{bmatrix} 2t\\ t^2-1\\ t^4-2t \end{bmatrix} B3(t)−A(t)B2(t)B˙2(t) 2tt2−1t4−2t Q c ( t ) [ B 1 ( t ) B 2 ( t ) B 3 ( t ) ] [ 0 − 1 2 t 1 − t t 2 − 1 1 − t 2 t 4 − 2 t ] Q_c(t)[B_1(t) \,\,\, B_2(t) \,\,\, B_3(t)] \begin{bmatrix} 0 -1 2t\\1-tt^2-1\\1-t^2t^4-2t \end{bmatrix} Qc(t)[B1(t)B2(t)B3(t)] 011−1−t−t22tt2−1t4−2t rank ( Q c ) 3 , t ∈ [ 0 , 2 ] \text{rank}(Q_c)3 \,\,,\,\, t\in [0,2] rank(Qc)3,t∈[0,2] 系统状态完全能控。 2. 能观性
2.1 能观性可观性引入
可观性问题 系统内部的所有状态是否可以被输出所反映 [!example]- x ˙ 1 4 x 1 2 u x ˙ 2 − 2 x 2 y x 1 \begin{align*} \dot x_1 4x_12u \\ \\ \dot x_2 -2x_2 \\ \\ yx_1 \end{align*} x˙1x˙2y4x12u−2x2x1 由于输入量 u {u} u 不能影响状态 x 2 {x_2} x2 所以系统不完全可控。 由于只有状态 x 1 {x_1} x1 被输出 x 2 {x_2} x2 无输出所以系统不可观。 如果不外加输入则状态方程的解 x 1 ( t ) e 4 t x 1 ( 0 ) , 状态 x 1 不稳定 \begin{align*} x_1(t)e^{4t}x_1(0) \,\,,\,\, 状态x_1不稳定 \end{align*} x1(t)e4tx1(0),状态x1不稳定 若令 u − 3 x 1 {u-3x_1} u−3x1 则 x 1 ( t ) e − 2 t x 1 ( 0 ) , 状态 x 1 稳定了 \begin{align*} x_1(t)e^{-2t}x_1(0) \,\,,\,\, 状态x_1稳定了 \end{align*} x1(t)e−2tx1(0),状态x1稳定了 如果输出 y x 2 {yx_2} yx2 x 1 {x_1} x1 没有被输出则无法实现使状态 x 1 {x_1} x1 趋于稳定的控制律 u − 3 x 1 {u-3x_1} u−3x1 所以只有当 x 1 {x_1} x1 可观才能有 u − 3 x 1 {u-3x_1} u−3x1 。 由上面的例子可以得到结论
状态可控则可以让不稳定的状态趋于稳定状态可观则可以实现让状态趋于稳定的控制律 u {u} u
即可控决定了状态能否稳定可观决定了让状态稳定的控制量 u {u} u 能否实现。
2.2 LTI系统的可观性
Gram矩阵判据 系统完全能观 ⇔ W o ( 0 , t 1 ) ∫ 0 t 1 e − A T t C T C e − A t d t 非奇异 系统完全能观\Leftrightarrow W_o(0,t_1) \int_{ 0 }^{t_1}e^{-A^ \mathrm Tt}C^ \mathrm TCe^{-At} \mathrm dt非奇异 系统完全能观⇔Wo(0,t1)∫0t1e−ATtCTCe−Atdt非奇异
秩判据 系统完全能观 ⇔ rank ( [ C C A ⋮ C A n − 1 ] ) n 系统完全能观 \Leftrightarrow \text{rank}( \begin{bmatrix} C\\CA\\ \vdots \\CA^{n-1} \end{bmatrix} )n 系统完全能观⇔rank( CCA⋮CAn−1 )n A [ − 2 1 0 0 − 2 0 0 0 − 2 ] , C [ 1 0 4 2 0 8 ] A \begin{bmatrix} -2 1 0 \\ 0 -2 0 \\ 0 0 -2 \end{bmatrix} \,\,,\,\, C \begin{bmatrix} 104\\208 \end{bmatrix} A −2001−2000−2 ,C[120048] [!example]- Q o [ C C A C A 2 ] [ 1 0 4 2 0 8 − 2 1 − 8 − 4 2 − 16 4 − 4 16 8 − 8 32 ] rank ( Q o ) 2 \begin{align*} Q_o \begin{bmatrix} C\\ CA \\ CA^2 \end{bmatrix}\\ \\ \begin{bmatrix} 1 04\\ 208\\ -21-8\\ -42-16\\ 4-416\\8-832 \end{bmatrix} \\ \\ \text{rank}(Q_o)2 \end{align*} Qorank(Qo) CCACA2 12−2−4480012−4−848−8−161632 2 所以系统状态不是完全能观的。 PBH秩判据 系统完全能控 ⇔ rank ( [ λ i I − A C ] ) n 系统完全能控 \Leftrightarrow \text{rank}( \begin{bmatrix} \lambda_iI-A\\C \end{bmatrix} )n 系统完全能控⇔rank([λiI−AC])n
Jordan规范型时候的判据
若系统矩阵 A {A} A 为对角阵且特征值两两相异 系统完全能控 ⇔ C 矩阵无全零列 系统完全能控 \Leftrightarrow C矩阵无全零列 系统完全能控⇔C矩阵无全零列若系统矩阵 A {A} A 为Jordan规范型 系统完全能观 ⇔ 1. A 矩阵每个 J o r d a n 块的首列对应的 C 矩阵的列不是全零列且 2. A 矩阵相同特征值的 J o r d a n 块的首列对应的 C 矩阵的列线性无关 \begin{align*} 系统完全能观 \Leftrightarrow \\ \\ 1.A矩阵每个Jordan块的首列对应的C矩阵的列不是全零列 且 \\ \\ 2.A矩阵相同特征值的Jordan块的首列对应的C矩阵的列线性无关 \end{align*} 1.2.系统完全能观⇔A矩阵每个Jordan块的首列对应的C矩阵的列不是全零列且A矩阵相同特征值的Jordan块的首列对应的C矩阵的列线性无关 [!example]- [ x ˙ 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ x ˙ 8 ] [ 3 1 3 3 3 2 1 2 2 5 ] [ x 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ x 8 ] y [ 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 2 4 0 7 0 0 0 3 3 0 1 0 ] x \begin{align*} \begin{bmatrix} \dot x_1\\ \vdots \\ \vdots \\ \vdots \\ \vdots \\ \dot x_8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 1\\ 3\\ 3\\ 3\\ 21\\2\\ 2\\ 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ \vdots \\ \vdots \\ \vdots \\ \vdots \\ x_8 \end{bmatrix} \\ \\ y \begin{bmatrix} 20001000\\ 00102407\\00033010 \end{bmatrix}x \end{align*} x˙1⋮⋮⋮⋮x˙8 y 3133321225 x1⋮⋮⋮⋮x8 200000010003123040001070 x 第 1 3 4 5 7 8 {134578} 134578 列 C {C} C 矩阵满足条件 1 {1} 1 第 1 3 4 {134} 134 列 C {C} C 矩阵满足条件 2 {2} 2 第 5 7 {57} 57 列 C {C} C 矩阵满足条件 2 {2} 2 所以该LTI系统完全能观。 2.3 LTV系统的可观性
通过秩判据LTV系统的可观性秩判据矩阵如下 rank ( A ) n C 1 ( t ) C ( t ) C i ( t ) C i − 1 ( t ) A ( t ) C ˙ i − 1 ( t ) , i 1 , ⋯ , n Q c ( t ) [ C 1 ( t ) ⋮ C n ( t ) ] rank ( Q c ( t ) ) n ⟺ 系统状态完全能观 \begin{align*} \text{rank}(A)n \\ \\ C_1(t) C(t) \\ \\ C_i(t) C_{i-1}(t)A(t) \dot C_{i-1}(t) \,\,,\,\, i1,\cdots ,n\\ \\ Q_c(t) \begin{bmatrix} C_1(t) \\ \vdots \\ C_n(t) \end{bmatrix} \\ \\ \text{rank}(Q_c(t))n \iff 系统状态完全能观 \end{align*} rank(A)C1(t)Ci(t)Qc(t)rank(Qc(t))nC(t)Ci−1(t)A(t)C˙i−1(t),i1,⋯,n C1(t)⋮Cn(t) n⟺系统状态完全能观 3. 状态向量的非奇异线性变换
LTI系统 x ˙ ( t ) A x ( t ) B u ( t ) y ( t ) C x ( t ) D u ( t ) \begin{aligned} \dot{x}(t)A x(t)B u(t) \\ y(t)C x(t)D u(t) \end{aligned} x˙(t)Ax(t)Bu(t)y(t)Cx(t)Du(t) 线性变换 x ˉ ˙ A ˉ x ˉ B ˉ u x T x ˉ y C ˉ x ˉ D ˉ u \begin{array}{ll} \dot{\bar x}\bar{A} \bar x\bar{B} u xT\bar x \\ y\bar{C} \bar x\bar{D} u \end{array} xˉ˙AˉxˉBˉuyCˉxˉDˉuxTxˉ 其中 A ˉ T − 1 A T B ˉ T − 1 B C ˉ C T D ˉ D x ˉ ( 0 ) T − 1 x 0 \begin{align*} \bar A T^{-1}AT \\ \\ \bar B T^{-1}B \\ \\ \bar C CT \\ \\ \bar D D \bar x(0) T^{-1}x_0 \end{align*} AˉBˉCˉDˉT−1ATT−1BCTDxˉ(0)T−1x0 系统的状态描述改变了系统矩阵 A {A} A 也改变了。使用 x T x ˉ {xT\bar x} xTxˉ 的写法是出于习惯这样变换矩阵相当于过渡矩阵过渡矩阵的每一列列向量相当于新的坐标轴的基向量。[[坐标变换与相似变换#1. 基变换与坐标变换]] 非奇异线性变换的不变性
可控性不变可观性不变特征值不变传递函数不变 D {D} D 矩阵不变
两个推导 [!info]- proof ∣ λ I − A ∣ 0 ∣ λ P − 1 I P − P − 1 A P ∣ 0 ∣ P − 1 ( λ I ) P − P − 1 A P ∣ 0 ∣ P − 1 ( λ I − A ) P ∣ 0 ∣ P − 1 ∣ ∣ λ I − A ∣ ∣ P ∣ 0 ⇒ ∣ λ I − A ∣ 0 \begin{align*} | \lambda I-A | 0 \\ \\ | \lambda P^{-1}IP- P^{-1}AP | 0 \\ \\ | P^{-1}( \lambda I) P- P^{-1}AP |0 \\ \\ |P^{-1} ( \lambda I-A) P| 0 \\ \\ |P^{-1}| | \lambda I -A | |P| 0 \Rightarrow| \lambda I-A |0 \end{align*} ∣λI−A∣∣λP−1IP−P−1AP∣∣P−1(λI)P−P−1AP∣∣P−1(λI−A)P∣∣P−1∣∣λI−A∣∣P∣00000⇒∣λI−A∣0 [!info]- proof G ( s ) C ( s I − A ) − 1 B − D G ′ ( s ) C P ( s I − P − 1 A P ) − 1 P − 1 B − D C P ( P − 1 ( s I − A ) P ) − 1 ) P − 1 B − D C P P − 1 ( s I − A ) − 1 P P − 1 B − D C ( s I − A ) − 1 B − D \begin{align*} G(s) C(sI-A)^{-1}B-D \\ \\ G(s) CP(sI-P^{-1}AP)^{-1}P^{-1}B-D \\ \\ CP(P^{-1}(sI-A)P)^{-1})P^{-1}B-D \\ \\ CPP^{-1}(sI-A)^{-1}PP^{-1}B-D \\ \\ C(sI-A)^{-1}B-D \end{align*} G(s)G′(s)C(sI−A)−1B−DCP(sI−P−1AP)−1P−1B−DCP(P−1(sI−A)P)−1)P−1B−DCPP−1(sI−A)−1PP−1B−DC(sI−A)−1B−D 3.1 LTI能控性分解
当系统不完全能控时选择变换矩阵 P {P} P 使得系统能控的部分与不能控的部分在状态方程的写法上分开。 x P x ˉ xP\bar x xPxˉ [ x ˉ ˙ c x ˉ ˙ c ˉ ] [ A ˉ c A ˉ 12 0 A ˉ c ˉ ] [ B ˉ c 0 ] u y [ C ˉ c C ˉ c ˉ ] [ x ˉ ˙ c x ˉ ˙ c ˉ ] \begin{align*} \begin{bmatrix} \dot{\bar x}_c \\ \dot{\bar x}_{\bar c} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar A_c \bar A_{12} \\ 0 \bar A_{\bar c} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar B_c \\ 0 \end{bmatrix}u \\ \\ y \begin{bmatrix} \bar C_c \bar C_{\bar c} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{\bar x}_c \\ \dot{\bar x}_{\bar c} \end{bmatrix} \end{align*} [xˉ˙cxˉ˙cˉ]y[Aˉc0Aˉ12Aˉcˉ][Bˉc0]u[CˉcCˉcˉ][xˉ˙cxˉ˙cˉ]
P矩阵的选择如下
选择能控性秩判据矩阵中线性无关的列做为 P {P} P 矩阵的前几列构造出与前几列线性无关的向量做为 P {P} P 矩阵的后几列
直观上是将可控的状态从不可控的状态的动态中分离使得不可控状态的动态不含可控状态而可控状态的动态可能会受不可控状态的影响。 能控性分解的步骤
求能控性秩判据矩阵得到系统不完全能控构造 P {P} P 矩阵并求出 P − 1 {P^{-1}} P−1 矩阵求出线性变换后的系统写出系统的能控部分的状态方程 [!example]- x ˙ [ 1 2 − 1 0 1 0 1 4 − 3 ] x [ 0 0 1 ] u y [ 1 − 1 1 ] x \begin{align*} \dot{x} \begin{bmatrix} 1 2 -1 \\0 1 0 \\ 1 4 -3 \end{bmatrix}x \begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}u \\ \\ y \begin{bmatrix} 1 -1 1 \end{bmatrix}x \end{align*} x˙y 101214−10−3 x 001 u[1−11]x rank ( Q c ) rank ( [ b A b A 2 b ] ) rank ( [ 0 − 1 − 4 0 0 0 1 3 8 ] ) 2 \text{rank}(Q_c) \text{rank}([b \,\,\, Ab \,\,\, A^2b]) \text{rank}( \begin{bmatrix} 0 -1 -4 \\ 0 0 0 \\1 3 8 \end{bmatrix} )2 rank(Qc)rank([bAbA2b])rank( 001−103−408 )2 ∴ P [ 0 − 1 0 0 0 1 1 3 0 ] , P − 1 [ 3 0 1 − 1 0 0 0 1 0 ] \therefore P \begin{bmatrix} 0 -1 0 \\ 0 0 1 \\ 1 3 0 \end{bmatrix} \,\,,\,\, P^{-1} \begin{bmatrix} 3 0 1 \\ -1 0 0 \\ 0 1 0 \end{bmatrix} ∴P 001−103010 ,P−1 3−10001100 A ˉ P − 1 A P [ 0 − 4 2 1 4 − 2 0 0 1 ] \bar A P^{-1}AP \begin{bmatrix} 0 -4 2 \\ 1 4 -2 \\ 0 0 1 \end{bmatrix} AˉP−1AP 010−4402−21 B ˉ P − 1 B [ 1 0 0 ] \bar B P^{-1}B \begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix} BˉP−1B 100 C ˉ C P − 1 [ 1 2 − 1 ] \bar C CP^{-1}[1 \,\,\, 2 \,\,\, -1] CˉCP−1[12−1] x ˉ P − 1 x [ 3 x 1 x 3 − x 1 x 2 ] \bar xP^{-1}x \begin{bmatrix} 3x_1x_3 \\ -x_1\\ x_2 \end{bmatrix} xˉP−1x 3x1x3−x1x2 [!example]- Reduce the state equation 化简状态方程 x ˙ [ − 1 4 4 − 1 ] x [ 1 1 ] u , y [ 1 1 ] x \dot{x}\begin{bmatrix} -1 4\\ 4 -1\\ \end{bmatrix} x\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ \end{bmatrix}u \,\,,\,\, y\begin{bmatrix} 1 1\\ \end{bmatrix} x x˙[−144−1]x[11]u,y[11]x to a controllable one. Is the reduced equation observable? 到一个能控的形式这个化简后的方程能观吗 解由题可得 A [ − 1 4 4 − 1 ] , B [ 1 1 ] , C [ 1 1 ] A \begin{bmatrix} -1 4 \\ 4 -1 \end{bmatrix} \,\,,\,\, B \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} \,\,,\,\, C[1 \,\,\, 1] A[−144−1],B[11],C[11] Q c [ B A B ] [ 1 3 1 3 ] Q_c[B \,\,\, AB] \begin{bmatrix} 1 3 \\ 1 3 \end{bmatrix} Qc[BAB][1133] 选择 P [ 1 0 1 1 ] , P − 1 [ 1 0 − 1 1 ] P \begin{bmatrix} 1 0 \\ 1 1 \end{bmatrix} \,\,,\,\, P^{-1} \begin{bmatrix} 1 0 \\ -1 1 \end{bmatrix} P[1101],P−1[1−101] A ˉ P − 1 A P [ 1 0 − 1 1 ] [ − 1 4 4 − 1 ] [ 1 0 1 1 ] [ 3 4 0 − 5 ] \bar AP^{-1}AP \begin{bmatrix} 1 0 \\ -1 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 4 \\ 4 -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 0 \\1 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 4 \\ 0 -5 \end{bmatrix} AˉP−1AP[1−101][−144−1][1101][304−5] B ˉ P − 1 B [ 1 0 ] , C ˉ C P [ 2 1 ] \bar B P^{-1}B \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix} \,\,,\,\, \bar CCP[2 \,\,\, 1] BˉP−1B[10],CˉCP[21] 因此对 x ˉ P − 1 x \bar xP^{-1}x xˉP−1x 有 x ˉ ˙ [ 3 4 0 − 5 ] x ˉ [ 1 0 ] u \dot{\bar x} \begin{bmatrix} 3 4 \\ 0 -5 \end{bmatrix}\bar x \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}u xˉ˙[304−5]xˉ[10]u y [ 2 1 ] x ˉ y[2 \,\,\, 1]\bar x y[21]xˉ 方程可以被简化为 x ˉ ˙ 1 3 x ˉ 1 u 4 x ˉ 2 \dot{ \bar {x}}_1 3\bar x_1u4\bar x_2 xˉ˙13xˉ1u4xˉ2 y 2 x ˉ 1 x ˉ 2 y2\bar x_1\bar x_2 y2xˉ1xˉ2 此时系统是能观的。 3.2 LTI能观性分解
当系统不完全能观时选择变换矩阵 P {P} P 使得系统能观的部分与不能观的部分在状态方程的写法上分开。 x ˉ P x \bar xPx xˉPx [ x ˉ ˙ o x ˉ ˙ o ˉ ] [ A ˉ o 0 A ˉ 21 A ˉ o ˉ ] [ B ˉ o B ˉ o ˉ ] u y [ C ˉ o 0 ] [ x ˉ ˙ o x ˉ ˙ o ˉ ] \begin{align*} \begin{bmatrix} \dot{\bar x}_o \\ \dot{\bar x}_{\bar o} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar A_o 0 \\ \bar A_{21} \bar A_{\bar o} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar B_o \\ \bar B_{\bar o} \end{bmatrix}u \\ \\ y \begin{bmatrix} \bar C_o 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{\bar x}_o \\ \dot{\bar x}_{\bar o} \end{bmatrix} \end{align*} [xˉ˙oxˉ˙oˉ]y[AˉoAˉ210Aˉoˉ][BˉoBˉoˉ]u[Cˉo0][xˉ˙oxˉ˙oˉ]
P矩阵的选择如下
选择能观性秩判据矩阵中线性无关的行做为 P {P} P 矩阵的前几行构造出与前几行线性无关的行向量做为 P {P} P 矩阵的后几行
能控性分解的步骤
求能观性秩判据矩阵得到系统不完全能观构造 P {P} P 矩阵并求出 P − 1 {P^{-1}} P−1 矩阵求出线性变换后的系统写出系统的能控部分的状态方程 [!example]- x ˙ [ 1 2 − 1 0 1 0 1 4 − 3 ] x [ 0 0 1 ] u y [ 1 − 1 1 ] x \begin{align*} \dot{x} \begin{bmatrix} 1 2 -1 \\0 1 0 \\ 1 4 -3 \end{bmatrix}x \begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}u \\ \\ y \begin{bmatrix} 1 -1 1 \end{bmatrix}x \end{align*} x˙y 101214−10−3 x 001 u[1−11]x rank ( Q o ) rank ( [ c c A c A 2 ] ) rank ( [ 1 − 1 1 2 − 3 2 4 − 7 4 ] ) 2 \text{rank}(Q_o) \text{rank}(\begin{bmatrix} c\\cA\\cA^2 \end{bmatrix}) \text{rank}( \begin{bmatrix} 1 -1 1 \\ 2 -3 2 \\4 -7 4 \end{bmatrix} )2 rank(Qo)rank( ccAcA2 )rank( 124−1−3−7124 )2 ∴ P [ 1 − 1 1 2 − 3 2 0 0 1 ] , P − 1 [ 3 − 1 1 2 − 1 0 0 0 1 ] \therefore P \begin{bmatrix} 1 -1 1\\ 2 -3 2 \\ 0 0 1 \end{bmatrix} \,\,,\,\, P^{-1} \begin{bmatrix} 3 -1 1 \\ 2 -1 0 \\ 0 0 1 \end{bmatrix} ∴P 120−1−30121 ,P−1 320−1−10101 A ˉ P − 1 A P [ 0 1 0 − 2 3 0 − 5 3 2 ] \bar A P^{-1}AP \begin{bmatrix} 0 1 0 \\ -2 3 0 \\ -5 3 2 \end{bmatrix} AˉP−1AP 0−2−5133002 B ˉ P − 1 B [ 1 2 1 ] \bar B P^{-1}B \begin{bmatrix} 1\\2\\1 \end{bmatrix} BˉP−1B 121 C ˉ C P − 1 [ 1 0 0 ] \bar C CP^{-1}[1 \,\,\, 0 \,\,\, 0] CˉCP−1[100] x ˉ P − 1 x [ 3 x 1 − x 2 x 3 2 x 1 − x 2 x 3 ] \bar xP^{-1}x \begin{bmatrix} 3x_1-x_2x_3\\ 2x_1-x_2\\ x_3 \end{bmatrix} xˉP−1x 3x1−x2x32x1−x2x3 3.3 Kalman分解定理
可以通过等价变换将任一状态方程变换为以下标准型 [ x ˉ ˙ c o ( t ) x ˉ ˙ c o ˉ ( t ) x ˉ ˙ c ˉ o ( t ) x ˉ ˙ c ˉ o ˉ ( t ) ] [ A ˉ c o 0 A ˉ 13 0 A ˉ 21 A ˉ c o ˉ A ˉ 23 A ˉ 24 0 0 A ˉ c ˉ o 0 0 0 A ˉ 43 A ˉ c ˉ o ˉ ] [ x ˉ c o ( t ) x ˉ c o ˉ ( t ) x ˉ c ˉ o ( t ) x ˉ c ˉ o ˉ ( t ) ] [ B ˉ c o B ˉ c o ˉ 0 0 ] u ( t ) y ( t ) [ C ˉ c o 0 C ˉ c ˉ o 0 ] x ˉ ( t ) D u ( y ) \begin{align*} \begin{bmatrix} \dot{\bar x}_{co}(t) \\ \dot{\bar x}_{c\bar o}(t) \\ \dot{\bar x}_{\bar co}(t) \\ \dot{\bar x}_{\bar c\bar{o}}(t) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar A_{co} 0 \bar A_{13} 0 \\ \bar A_{21} \bar A_{c\bar o} \bar A_{23} \bar A_{24} \\ 0 0 \bar A_{\bar c o} 0\\ 0 0 \bar A_{43} \bar A_{\bar c\bar o} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {\bar x}_{co}(t) \\ {\bar x}_{c\bar o}(t) \\ {\bar x}_{\bar co}(t) \\ {\bar x}_{\bar c\bar{o}}(t) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar B_{co} \\ \bar B_{c\bar o} \\0\\0 \end{bmatrix}u(t) \\ \\ y(t) \begin{bmatrix} \bar C_{co} 0 \bar C_{\bar co} 0 \end{bmatrix} \bar x(t) Du(y) \end{align*} xˉ˙co(t)xˉ˙coˉ(t)xˉ˙cˉo(t)xˉ˙cˉoˉ(t) y(t) AˉcoAˉ21000Aˉcoˉ00Aˉ13Aˉ23AˉcˉoAˉ430Aˉ240Aˉcˉoˉ xˉco(t)xˉcoˉ(t)xˉcˉo(t)xˉcˉoˉ(t) BˉcoBˉcoˉ00 u(t)[Cˉco0Cˉcˉo0]xˉ(t)Du(y) [!example]- Reduce the state equation x ˙ [ λ 1 1 0 0 0 0 λ 1 1 0 0 0 0 λ 1 0 0 0 0 0 λ 2 1 0 0 0 0 λ 2 ] x [ 0 1 0 0 1 ] u y [ 0 1 1 0 1 ] x \begin{align*} \dot x \begin{bmatrix} \lambda_1 1 0 0 0 \\ 0 \lambda_1 1 0 0 \\ 0 0 \lambda_1 0 0 \\ 0 0 0 \lambda_2 1 \\ 0 0 0 0 \lambda_2 \end{bmatrix}x \begin{bmatrix} 0\\1\\0\\0\\1 \end{bmatrix}u\\ \\ y \begin{bmatrix} 01101 \end{bmatrix}x \end{align*} x˙y λ100001λ100001λ100000λ200001λ2 x 01001 u[01101]x to a controllable and observable equation. 解方程可以被重写成成 [ x ˙ 2 x ˙ 5 x ˙ 1 x ˙ 3 x ˙ 4 ] [ λ 1 0 0 1 0 0 λ 2 0 0 0 1 0 λ 1 0 0 0 0 0 λ 1 0 0 0 0 0 λ 2 ] [ x 2 x 5 x 1 x 3 x 4 ] [ 1 1 0 0 0 ] u \begin{bmatrix} \dot x_2\\ \dot x_5\\ \dot x_1 \\ \dot x_3 \\\dot x_4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_10010\\ 0 \lambda_2 000\\ 10 \lambda_1 0 0 \\ 000 \lambda_10\\ 0000 \lambda_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_2\\ x_5\\ x_1\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\1\\0\\0\\0 \end{bmatrix}u x˙2x˙5x˙1x˙3x˙4 λ101000λ200000λ100100λ100000λ2 x2x5x1x3x4 11000 u y [ 1 1 0 1 0 ] x ˉ ˉ y[1 \,\,\, 1 \,\,\, 0\,\,\, 1\,\,\, 0 ]\bar{\bar x} y[11010]xˉˉ 方程还可以被化简成 [ x ˙ 2 x ˙ 5 ] [ λ 1 0 0 λ 2 ] [ x 2 x 5 ] [ 1 1 ] u [ 0 1 0 0 0 0 ] [ x 1 x 3 x 4 ] \begin{bmatrix} \dot x_2\\ \dot x_5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 0 \\0 \lambda_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_2\\ x_5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}u \begin{bmatrix} 0 1 0 \\ 0 0 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_3\\x_4 \end{bmatrix} [x˙2x˙5][λ100λ2][x2x5][11]u[001000] x1x3x4 y [ 1 1 ] [ x 2 x 5 ] [ 0 1 0 ] [ x 1 x 3 x 4 ] y[1 \,\,\, 1]\begin{bmatrix} x_2\\x_5 \end{bmatrix}[0 \,\,\, 1 \,\,\, 0] \begin{bmatrix} x_1\\x_3\\x_4 \end{bmatrix} y[11][x2x5][010] x1x3x4 这个方程是即能控又能观的。 5. 其他
5.1 对偶定理
矩阵对系统 ( A , B ) {(A,B)} (A,B) 能控当且仅当矩阵对系统 ( A T , B T ) {(A^ \mathrm T, B^ \mathrm T)} (AT,BT) 能观时。此时 B T {B^ \mathrm T} BT 相当于 C {C} C 矩阵。
5.2 能控性能观性和传递函数的关系
考虑一个对角型的SISO系统 [ x ˙ 1 x ˙ 2 x ˙ 3 ] [ λ 1 λ 2 λ 3 ] [ x 1 x 2 x 3 ] [ b 1 b 2 b 3 ] u y [ c 1 c 2 c 3 ] x \begin{align*} \begin{bmatrix} \dot x_1\\ \dot x_2\\ \dot x_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2\\ b_3 \end{bmatrix}u \\ \\ y \begin{bmatrix} c_1 c_2 c_3 \end{bmatrix} x \end{align*} x˙1x˙2x˙3 y λ1λ2λ3 x1x2x3 b1b2b3 u[c1c2c3]x 其中 λ 1 ≠ λ 2 ≠ λ 3 { \lambda_1 \ne \lambda_2 \ne \lambda_3} λ1λ2λ3 。 显然如果要系统可控则要 b 1 , b 2 , b 3 ≠ 0 { b_1,b_2,b_3\ne0} b1,b2,b30 。 要系统可观则有 c 1 , c 2 , c 3 ≠ 0 { c_1,c_2,c_3\ne 0} c1,c2,c30 。传递函数如下 Y ( s ) U ( s ) C ( s I − A ) − 1 B [ c 1 c 2 c 3 ] [ s − λ 1 s − λ 2 s − λ 3 ] − 1 [ b 1 b 2 b 3 ] [ c 1 s − λ 1 c 2 s − λ 2 c 3 s − λ 3 ] [ b 1 b 2 b 3 ] c 1 b 1 s − λ 1 c 2 b 2 s − λ 2 c 3 b 3 s − λ 3 \begin{align*} \frac{Y(s)}{U(s)} C(sI-A)^{-1}B \\ \\ \begin{bmatrix} c_1c_2c_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s- \lambda_1\\ s- \lambda_2 \\ s- \lambda_3 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{bmatrix}\\ \\ [ \frac{c_1}{s- \lambda_1} \,\,\, \frac{c_2}{s- \lambda_2} \,\,\, \frac{c_3}{s- \lambda_3} ] \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\b_3 \end{bmatrix} \\ \\ \frac{c_1b_1}{s- \lambda_1} \frac{c_2b_2}{s- \lambda_2} \frac{c_3b_3}{s- \lambda_3} \end{align*} U(s)Y(s)C(sI−A)−1B[c1c2c3] s−λ1s−λ2s−λ3 −1 b1b2b3 [s−λ1c1s−λ2c2s−λ3c3] b1b2b3 s−λ1c1b1s−λ2c2b2s−λ3c3b3 如果 b 1 0 {b_10} b10 则状态 x 1 {x_1} x1 不可控这会导致 c 1 b 1 {c_1b_1} c1b1 等于 0 {0} 0 相当于传递函数存在零极点相消导致特征方程阶数降低。 SISO几个结论
当SISO传递函数有零极点相消时系统不可控或不可观当SISO传递函数有零极点相消时系统传递函数极点是系统矩阵 A {A} A 的特征值的真子集SISO的LTI系统可控可观的充要条件系统传递函数没有零极点相消SISO的LTI系统可控可观时没有零极点相消传递函数极点与 A {A} A 的特征值完全一致 [!example]- G ( s ) Y ( s ) U ( s ) s 1 ( s 1 ) ( s 3 ) 0 s 1 1 s 3 G(s) \frac{Y(s)}{U(s)} \frac{s1}{(s1)(s3)} \frac{0}{s1} \frac{1}{s3} G(s)U(s)Y(s)(s1)(s3)s1s10s31 系统的不可控可观实现 [ x ˙ 1 x ˙ 2 ] [ − 1 − 3 ] [ x 1 x 2 ] [ 0 1 ] u y [ 10 1 ] x \begin{align*} \begin{bmatrix} \dot x_1 \\\dot x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}u \\ \\ y [10 \,\,\, 1]x \end{align*} [x˙1x˙2]y[−1−3][x1x2][01]u[101]x 系统的可控不可观实现 [ x ˙ 1 x ˙ 2 ] [ − 1 − 3 ] [ x 1 x 2 ] [ 5 10 ] u y [ 0 1 / 10 ] x \begin{align*} \begin{bmatrix} \dot x_1 \\\dot x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5\\10 \end{bmatrix}u \\ \\ y [0 \,\,\, 1/10]x \end{align*} [x˙1x˙2]y[−1−3][x1x2][510]u[01/10]x 系统的不可控不可观实现 [ x ˙ 1 x ˙ 2 ] [ − 1 − 3 ] [ x 1 x 2 ] [ 0 10 ] u y [ 0 1 / 10 ] x \begin{align*} \begin{bmatrix} \dot x_1 \\\dot x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\10 \end{bmatrix}u \\ \\ y [0 \,\,\, 1/10]x \end{align*} [x˙1x˙2]y[−1−3][x1x2][010]u[01/10]x 5.3 一些题目 [!info]- proof 设有单变量定常系统 x ˙ A x b y , y c x {\dot xAxby,ycx} x˙Axby,ycx 已知 ( A , b ) {(A,b)} (A,b) 能控试问是否存在 c {c} c 使得 ( A , c ) {(A,c)} (A,c) 总是能观的。请加以论证并举一个例子来支持你的论证。 证明 由于系统能控则通过线性变换 x ^ Q c − 1 x \hat{x}Q_c^{-1}x x^Qc−1x, 将系统变换为能控规范型 x ˙ [ 0 0 − a 0 1 0 − a 1 0 1 ⋱ − a 2 ⋱ ⋮ 1 − a n − 1 ] x [ 1 0 0 ⋮ 0 ] u , y c ^ x \dot{x}\begin{bmatrix}00-a_0\\10-a_1\\01\ddots-a_2\\\ddots\vdots\\1-a_{n-1}\end{bmatrix}x\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix}u,y\hat{c}x x˙ 010001⋱⋱1−a0−a1−a2⋮−an−1 x 100⋮0 u,yc^x 其中 Q c [ b A b A 2 b ⋯ A n − 1 b ] , c ^ c Q c Q_c\begin{bmatrix}bAbA^2b\cdotsA^{n-1}b\end{bmatrix}\,\,,\,\, \hat{c}cQ_c Qc[bAbA2b⋯An−1b],c^cQc 要使系统总是能观只要 c ^ [ 0 0 ⋯ 0 1 ] \hat{c}\begin{bmatrix}00\cdots01\end{bmatrix} c^[00⋯01]即系统具有能观标规范式也就是 c { c } c 满足 c [ 0 0 ⋯ 0 1 ] Q c − 1 c\begin{bmatrix}00\cdots01\end{bmatrix}Q_c^{-1} c[00⋯01]Qc−1。 下链
