企事业网站建设,wordpress 下载页,吴忠网站设计公司,百度首页纯净版怎么设置1.函数、函数的傅里叶级数展开、傅里叶级数的和函数之间的关系
1.1 傅里叶级数中的系数公式推导
我们先来推导一下傅里叶级数中的系数公式#xff0c;其实笔者已经写过一篇相关笔记#xff0c;详见#xff1a;为什么要把一个函数分解成三角函数?(傅利叶级数) f ( x )…1.函数、函数的傅里叶级数展开、傅里叶级数的和函数之间的关系
1.1 傅里叶级数中的系数公式推导
我们先来推导一下傅里叶级数中的系数公式其实笔者已经写过一篇相关笔记详见为什么要把一个函数分解成三角函数?(傅利叶级数) f ( x ) ∼ a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( a n cos n π x l b n sin n π x l ) ( x ∈ R ) f ( x ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( a n cos n π x l b n sin n π x l ) ( − l x l ) a 0 1 l ∫ − l l f ( x ) d x 2 l ∫ 0 l f ( x ) d x a n 1 l ∫ − l l f ( x ) cos n π x l d x 2 l ∫ 0 l f ( x ) cos n π x l d x b n 1 l ∫ − l l f ( x ) sin n π x l d x 2 l ∫ 0 l f ( x ) sin n π x l d x f(x)\sim \frac{a_0}{2}\sum\limits_{n1}^{\infty}(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}b_n\sin\frac{n\pi x}{l})(x\in \boldsymbol{R})\\ ~\\ f(x) \frac{a_0}{2}\sum\limits_{n1}^{\infty}(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}b_n\sin\frac{n\pi x}{l})(-l\lt x\lt l)\\ ~\\ a_0\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)dx\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)dx\\ ~\\ a_n\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx\\ ~\\ b_n\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx f(x)∼2a0n1∑∞(ancoslnπxbnsinlnπx)(x∈R) f(x)2a0n1∑∞(ancoslnπxbnsinlnπx)(−lxl) a0l1∫−llf(x)dxl2∫0lf(x)dx anl1∫−llf(x)coslnπxdxl2∫0lf(x)coslnπxdx bnl1∫−llf(x)sinlnπxdxl2∫0lf(x)sinlnπxdx 如果上述公式中 l π l\pi lπ f ( x ) ∼ a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( a n cos n x b n sin n x ) ( x ∈ R ) f ( x ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( a n cos n x b n sin n x ) ( − π x π ) a 0 1 π ∫ − π π f ( x ) d x 2 π ∫ 0 π f ( x ) d x a n 1 π ∫ − π π f ( x ) cos n x d x 2 π ∫ 0 π f ( x ) cos n x d x b n 1 π ∫ − π π f ( x ) sin n x d x 2 π ∫ 0 π f ( x ) sin n x d x f(x)\sim \frac{a_0}{2}\sum\limits_{n1}^{\infty}(a_n\cos nxb_n\sin nx)(x\in \boldsymbol{R})\\ ~\\ f(x) \frac{a_0}{2}\sum\limits_{n1}^{\infty}(a_n\cos nxb_n\sin nx)(-\pi\lt x\lt \pi)\\ ~\\ a_0\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)dx\\ ~\\ a_n\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos nxdx\\ ~\\ b_n\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin nxdx f(x)∼2a0n1∑∞(ancosnxbnsinnx)(x∈R) f(x)2a0n1∑∞(ancosnxbnsinnx)(−πxπ) a0π1∫−ππf(x)dxπ2∫0πf(x)dx anπ1∫−ππf(x)cosnxdxπ2∫0πf(x)cosnxdx bnπ1∫−ππf(x)sinnxdxπ2∫0πf(x)sinnxdx
1.2将函数展开为傅里叶级数
2008年数一 将函数 f ( x ) 1 − x 2 ( 0 ≤ x ≤ π ) f(x)1-x^2(0\leq x\leq \pi) f(x)1−x2(0≤x≤π) 展开成余弦形式的傅里叶级数并求级数 ∑ n 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n 2 \sum\limits_{n1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2} n1∑∞n2(−1)n−1的和 由于展开成余弦形式的傅里叶级数故不含正弦级数且 b n 0 b_n0 bn0 f ( x ) ∼ a 0 2 ∑ n 1 ∞ a n cos n x ( x ∈ R ) f ( x ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ a n cos n x ( − π ≤ x ≤ π ) a 0 1 π ∫ − π π 1 − x 2 d x 2 π ∫ 0 π 1 − x 2 d x 2 ( 1 − π 2 3 ) a n 1 π ∫ − π π ( 1 − x 2 ) cos n x d x 2 π ∫ 0 π ( 1 − x 2 ) cos n x d x ( − 1 ) n 1 ⋅ 4 n 2 f(x)\sim \frac{a_0}{2}\sum\limits_{n1}^{\infty}a_n\cos nx(x\in \boldsymbol{R})\\ ~\\ f(x) \frac{a_0}{2}\sum\limits_{n1}^{\infty}a_n\cos nx(-\pi\leq x\leq \pi)\\ ~\\ a_0\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1-x^2dx\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}1-x^2dx2(1-\frac{\pi^2}{3})\\ ~\\ a_n\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1-x^2)\cos nxdx\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}(1-x^2)\cos nxdx\frac{(-1)^{n1}\cdot4}{n^2} f(x)∼2a0n1∑∞ancosnx(x∈R) f(x)2a0n1∑∞ancosnx(−π≤x≤π) a0π1∫−ππ1−x2dxπ2∫0π1−x2dx2(1−3π2) anπ1∫−ππ(1−x2)cosnxdxπ2∫0π(1−x2)cosnxdxn2(−1)n1⋅4 f ( x ) 1 − π 2 3 ∑ n 1 ∞ ( − 1 ) n 1 ⋅ 4 n 2 cos n x ( − π ≤ x ≤ π ) f ( 0 ) 1 − π 2 3 4 ∑ n 1 ∞ ( − 1 ) n 1 n 2 ( − π ≤ x ≤ π ) f ( 0 ) 1 − 0 2 1 1 1 − π 2 3 4 ∑ n 1 ∞ ( − 1 ) n 1 n 2 ( − π ≤ x ≤ π ) ∑ n 1 ∞ ( − 1 ) n 1 n 2 π 2 12 f(x) 1-\frac{\pi^2}{3}\sum\limits_{n1}^{\infty}\frac{(-1)^{n1}\cdot4}{n^2}\cos nx(-\pi\leq x\leq \pi)\\ ~\\ f(0)1-\frac{\pi^2}{3}4\sum\limits_{n1}^{\infty}\frac{(-1)^{n1}}{n^2}(-\pi\leq x\leq \pi)\\ ~\\ f(0)1-0^21\\ ~\\ 11-\frac{\pi^2}{3}4\sum\limits_{n1}^{\infty}\frac{(-1)^{n1}}{n^2}(-\pi\leq x\leq \pi)\\ ~\\ \sum\limits_{n1}^{\infty}\frac{(-1)^{n1}}{n^2}\frac{\pi^2}{12} f(x)1−3π2n1∑∞n2(−1)n1⋅4cosnx(−π≤x≤π) f(0)1−3π24n1∑∞n2(−1)n1(−π≤x≤π) f(0)1−021 11−3π24n1∑∞n2(−1)n1(−π≤x≤π) n1∑∞n2(−1)n112π2
1.3 函数、函数的傅里叶级数展开、傅里叶级数的和函数之间的关系的分析
作图过程如下 函数 f ( x ) 1 − x 2 ( 0 ≤ x ≤ π ) f(x)1-x^2(0\leq x\leq \pi) f(x)1−x2(0≤x≤π) 余弦级数中的部分余弦波 a n cos n x a_n\cos nx ancosnx 此图中 n n n只从1取到5共5个余弦波 各个余弦波绿色叠加后形成余弦级数橙色 ∑ n 1 ∞ a n cos n x \sum\limits_{n1}^{\infty}a_n\cos nx n1∑∞ancosnx 余弦级数加 a 0 / 2 a_0/2 a0/2 的图像蓝色 a 0 2 ∑ n 1 ∞ a n cos n x \frac{a_0}{2}\sum\limits_{n1}^{\infty}a_n\cos nx 2a0n1∑∞ancosnx 函数 f ( x ) f(x) f(x)红色及将其展开成余弦形式的傅里叶级数的图像蓝色 上图中红色为函数、蓝色为函数的傅里叶级数展开、函数与函数的傅里叶级数展开重合部分为和函数超过收敛域的部分函数与傅里叶级数的和函数不再相等
当n从1取得30时傅里叶级数的和函数基本与函数完全吻合
作图过程总览 f(x) a_ncos(nx) 余弦级数 函数及其余弦级数
