网站开发文件上传到服务器,邯郸房产信息网恋家网,佛山哪有网站建设公司,seo优化网站查询铛铛#xff01;小秘籍来咯#xff01; 小秘籍团队独辟蹊径#xff0c;运用Dijkstra算法#xff0c;最优路径切割等强大工具#xff0c;构建了这一题的详细解答哦#xff01; 为大家量身打造创新解决方案。小秘籍团队#xff0c;始终引领着建模问题求解的风潮。 抓紧小秘…铛铛小秘籍来咯 小秘籍团队独辟蹊径运用Dijkstra算法最优路径切割等强大工具构建了这一题的详细解答哦 为大家量身打造创新解决方案。小秘籍团队始终引领着建模问题求解的风潮。 抓紧小秘籍我们出发吧~ 让我们看看五一杯的A题 完整内容可以在文章末尾领取
问题1给定如图2所示的下料切割布局N1其中B3-B4为钢板边界线不用切割B1为切割起始点。请建立数学模型设计最优切割路径方案并给出最优切割路径的空程总长度。
设钢板的长为 L L L宽为 W W W切割起始点为 ( x 1 , y 1 ) ( 0 , 0 ) (x_1,y_1)(0,0) (x1,y1)(0,0)切割终点为 ( x 2 , y 2 ) ( L , W ) (x_2,y_2)(L,W) (x2,y2)(L,W)切割路径为 P { ( x i , y i ) } i 1 n P\{(x_i,y_i)\}_{i1}^n P{(xi,yi)}i1n其中 n n n为切割次数。
空程总长度 S S S为所有空程的长度之和即 S ∑ i 1 n − 1 ( x i 1 − x i ) 2 ( y i 1 − y i ) 2 S\sum_{i1}^{n-1}\sqrt{(x_{i1}-x_i)^2(y_{i1}-y_i)^2} Si1∑n−1(xi1−xi)2(yi1−yi)2
为了使空程总长度最小需要优化切割路径 P P P。根据题意切割线必须从切割起始点出发且每次切割必须沿着钢板的边界线进行因此切割路径 P P P可以表示为 P { ( x i , y i ) } i 1 n { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , . . . , ( x n , y n ) } P\{(x_i,y_i)\}_{i1}^n\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)\} P{(xi,yi)}i1n{(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)} 其中 x i x_i xi和 y i y_i yi满足以下条件 x i ∈ { 0 , L } , y i ∈ { 0 , W } , i 1 , 2 , . . . , n x_i\in\{0,L\},\quad y_i\in\{0,W\},\quad i1,2,...,n xi∈{0,L},yi∈{0,W},i1,2,...,n
同时为了保证切割线不重叠需要满足以下条件 x i ≠ x j , y i ≠ y j , i ≠ j x_i\neq x_j,\quad y_i\neq y_j,\quad i\neq j xixj,yiyj,ij
综上问题1可以建立如下数学模型 min P ∑ i 1 n − 1 ( x i 1 − x i ) 2 ( y i 1 − y i ) 2 \min_{P}\sum_{i1}^{n-1}\sqrt{(x_{i1}-x_i)^2(y_{i1}-y_i)^2} Pmini1∑n−1(xi1−xi)2(yi1−yi)2 s . t . x i ∈ { 0 , L } , y i ∈ { 0 , W } , i 1 , 2 , . . . , n s.t.\quad x_i\in\{0,L\},\quad y_i\in\{0,W\},\quad i1,2,...,n s.t.xi∈{0,L},yi∈{0,W},i1,2,...,n x i ≠ x j , y i ≠ y j , i ≠ j x_i\neq x_j,\quad y_i\neq y_j,\quad i\neq j xixj,yiyj,ij
其中 P P P为切割路径 n n n为切割次数 x i x_i xi和 y i y_i yi为第 i i i次切割的坐标。最优切割路径方案即为使得空程总长度最小的切割路径 P P P。
首先我们可以将钢板切割路径问题抽象为一个图论问题。将钢板布局图中的每个切割点视为图中的一个节点切割线视为节点之间的边。则钢板切割路径问题可以转化为在这个图中寻找一条最优路径使得空程最短。
根据题目要求切割起始点为B1因此我们可以将B1作为图中的起点。同时B3-B4为钢板边界线不用切割可以将其视为图中的终点。
接下来我们需要确定图中的权重。根据题目要求空程是指在切割过程中不产生切割效果的水平运动路径因此我们可以将每条边的权重设为其对应的空程长度。
最优切割路径的空程总长度即为从起点到终点的最短路径长度。因此我们可以使用Dijkstra算法来求解最优切割路径。该算法可以在O(nlogn)的时间复杂度内求解最短路径。
综上所述我们可以建立如下数学模型
将钢板布局图抽象为一个图G(V,E)其中V为节点集合E为边集合。将切割起始点B1作为图中的起点将钢板边界线B3-B4作为图中的终点。将每条边的权重设为其对应的空程长度。使用Dijkstra算法求解最短路径得到最优切割路径的空程总长度。
在具体实现时可以使用邻接矩阵来表示图G并使用优先队列来实现Dijkstra算法从而提高算法的效率。
最后我们可以通过调整切割起始点的位置来进一步优化切割路径使得空程总长度更短。因此钢板切割路径问题可以进一步拓展为一个优化问题可以使用遗传算法等方法来求解最优解。
设钢板的长为 L L L宽为 W W W切割起始点为 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)切割终点为 ( L , W ) (L,W) (L,W)切割线的集合为 S S S则最优切割路径方案可以表示为 min S ∑ i 1 n l i \min_{S} \sum_{i1}^{n} l_i Smini1∑nli
其中 n n n为切割线的数量 l i l_i li为第 i i i条切割线的长度。为了满足空程最短的原则我们需要考虑切割线的方向和顺序。假设第 i i i条切割线的起点为 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)终点为 ( x i 1 , y i 1 ) (x_{i1},y_{i1}) (xi1,yi1)则第 i i i条切割线的长度可以表示为 l i ( x i 1 − x i ) 2 ( y i 1 − y i ) 2 l_i \sqrt{(x_{i1}-x_i)^2 (y_{i1}-y_i)^2} li(xi1−xi)2(yi1−yi)2
为了使空程最短我们需要使得切割线的方向尽可能平行于钢板的边界线。因此我们可以将切割线的方向限制在以下四种情况中的一种
水平向右 x i 1 x i l i , y i 1 y i x_{i1} x_i l_i, y_{i1} y_i xi1xili,yi1yi水平向左 x i 1 x i − l i , y i 1 y i x_{i1} x_i - l_i, y_{i1} y_i xi1xi−li,yi1yi垂直向上 x i 1 x i , y i 1 y i l i x_{i1} x_i, y_{i1} y_i l_i xi1xi,yi1yili垂直向下 x i 1 x i , y i 1 y i − l i x_{i1} x_i, y_{i1} y_i - l_i xi1xi,yi1yi−li
同时我们还需要考虑切割线的顺序即每条切割线的起点必须与上一条切割线的终点相同。因此我们可以将切割线的顺序限制在以下两种情况中的一种
顺序 x i 1 ≥ x i , y i 1 ≥ y i x_{i1} \geq x_i, y_{i1} \geq y_i xi1≥xi,yi1≥yi逆序 x i 1 ≤ x i , y i 1 ≤ y i x_{i1} \leq x_i, y_{i1} \leq y_i xi1≤xi,yi1≤yi
综上所述我们可以得到最优切割路径方案的数学模型为 min S ∑ i 1 n ( x i 1 − x i ) 2 ( y i 1 − y i ) 2 \min_{S} \sum_{i1}^{n} \sqrt{(x_{i1}-x_i)^2 (y_{i1}-y_i)^2} Smini1∑n(xi1−xi)2(yi1−yi)2 s . t . { x 1 0 , y 1 0 x n L , y n W x i 1 ≥ x i , y i 1 ≥ y i , i 1 , 2 , . . . , n − 1 或 x i 1 ≤ x i , y i 1 ≤ y i , i 1 , 2 , . . . , n − 1 s.t. \begin{cases} x_1 0, y_1 0 \\ x_n L, y_n W \\ x_{i1} \geq x_i, y_{i1} \geq y_i, i 1,2,...,n-1 \\ \text{或} \\ x_{i1} \leq x_i, y_{i1} \leq y_i, i 1,2,...,n-1 \end{cases} s.t.⎩ ⎨ ⎧x10,y10xnL,ynWxi1≥xi,yi1≥yi,i1,2,...,n−1或xi1≤xi,yi1≤yi,i1,2,...,n−1
其中 x i x_i xi和 y i y_i yi为第 i i i条切割线的起点坐标 x i 1 x_{i1} xi1和 y i 1 y_{i1} yi1为第 i i i条切割线的终点坐标。最优切割路径的空程总长度为最小值。
首先我们需要将下料切割布局N1转换为一个二维数组用来表示钢板的布局。数组中的每个元素表示一个小方格1表示需要切割的部分0表示不需要切割的部分。
下料切割布局N1的二维数组表示如下 [[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0], [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0], [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0], [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0], [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0], [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0], [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0], [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0], [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0], [0,0,1,1,1,1,1,1,1,1], [0,0,1,1,1,1,1,1,1,1], [0,0,1,1,1,1,1,1,1,1], [0,0,1,1,1,1,1,1,
第二个问题是给定下料切割布局N2根据参数信息建立数学模型设计最优切割路径方案并给出最优切割路径的空程总长度。
假设钢板的尺寸为 W × H W\times H W×H其中 W W W为钢板的宽度 H H H为钢板的高度。根据下料切割布局N2的参数信息可以得知钢板上需要切割的零件的尺寸和位置其中包括四个半径为3的圆形和一个椭圆形。
首先我们需要确定切割起始点的位置根据题目要求切割起始点位于钢板的右下角即 ( W , 0 ) (W, 0) (W,0)。接下来我们需要确定最优的切割路径使得空程最短。为了简化问题我们假设切割路径只能沿着水平或垂直方向进行即每次切割只能沿着水平或垂直方向移动一定的距离。
假设切割路径的总长度为 L L L则空程的总长度为 L − W − H L-W-H L−W−H。为了使得空程最短我们需要最小化 L L L。根据题目要求切割线不能相交因此我们可以将钢板分割成若干个矩形区域每个矩形区域内只包含一个零件且零件的中心点位于矩形区域的中心。
假设钢板上需要切割的零件的数量为 n n n则钢板可以被分割成 n 1 n1 n1个矩形区域其中 n n n个矩形区域内分别包含一个圆形零件最后一个矩形区域内包含一个椭圆形零件。假设圆形零件的半径为 r r r椭圆形零件的长轴和短轴分别为 a a a和 b b b则钢板可以被分割成 n 1 n1 n1个矩形区域每个矩形区域的宽度为 2 r 2r 2r高度为 2 r 2r 2r除了最后一个矩形区域的宽度为 2 a 2a 2a高度为 2 b 2b 2b。
为了使得空程最短我们需要确定每个矩形区域的切割路径使得每个矩形区域内的空程最短。假设第 i i i个矩形区域的左下角坐标为 ( x i , y i ) (x_i, y_i) (xi,yi)则第 i i i个矩形区域的切割路径可以表示为 ( x i , y i ) → ( x i 2 r , y i ) → ( x i 2 r , y i 2 r ) → ( x i , y i 2 r ) → ( x i , y i 2 r 2 r ) → ( x i 2 r , y i 2 r 2 r ) (x_i, y_i) \rightarrow (x_i 2r, y_i) \rightarrow (x_i 2r, y_i 2r) \rightarrow (x_i, y_i 2r) \rightarrow (x_i, y_i 2r 2r) \rightarrow (x_i 2r, y_i 2r 2r) (xi,yi)→(xi2r,yi)→(xi2r,yi2r)→(xi,yi2r)→(xi,yi2r2r)→(xi2r,yi2r2r)
其中第一个箭头表示从左下角开始沿着水平方向移动 2 r 2r 2r的距离第二个箭头表示从上一个位置开始沿着垂直方向移动 2 r 2r 2r的距离第三个箭头表示从上一个位置开始沿着水平方向移动 2 r 2r 2r的距离第四个箭头表示从上一个位置开始沿着垂直方向移动 2 r 2r 2r的距离第五个箭头表示从上一个位置开始沿着水平方向移动 2 r 2r 2r的距离第六个箭头表示从上一个位置开始沿着垂直方向移动 2 r 2r 2r的距离。
同理最后一个矩形区域的切割路径可以表示为 ( x n , y n ) → ( x n 2 a , y n ) → ( x n 2 a , y n 2 b ) → ( x n , y n 2 b ) → ( x n , y n 2 b 2 b ) → ( x n 2 a , y n 2 b 2 b ) (x_n, y_n) \rightarrow (x_n 2a, y_n) \rightarrow (x_n 2a, y_n 2b) \rightarrow (x_n, y_n 2b) \rightarrow (x_n, y_n 2b 2b) \rightarrow (x_n 2a, y_n 2b 2b) (xn,yn)→(xn2a,yn)→(xn2a,yn2b)→(xn,yn2b)→(xn,yn2b2b)→(xn2a,yn2b2b)
因此总的切割路径可以表示为 L ∑ i 1 n 6 r 6 b 2 a L \sum_{i1}^{n} 6r 6b 2a Li1∑n6r6b2a
为了使得空程最短我们需要最小化 L L L即最小化 ∑ i 1 n 6 r 6 b 2 a \sum_{i1}^{n} 6r 6b 2a ∑i1n6r6b2a。根据题目要求圆形零件的半径 r r r和椭圆形零件的长轴 a a a和短轴 b b b都是已知的因此我们只需要确定每个矩形区域的左下角坐标 ( x i , y i ) (x_i, y_i) (xi,yi)使得 L L L最小。
假设第 i i i个矩形区域的左下角坐标为 ( x i , y i ) (x_i, y_i) (xi,yi)则根据题目要求每个矩形区域内的零件的中心点位于矩形区域的中心即 ( x i r , y i r ) ( x i a , y i b ) (x_i r, y_i r) (x_i a, y_i b) (xir,yir)(xia,yib)
解得 x i a − b 2 , y i b − a 2 x_i \frac{a-b}{2}, y_i \frac{b-a}{2} xi2a−b,yi2b−a
因此最优的切割路径可以表示为 L ∑ i 1 n 6 r 6 b 2 a 6 n r 6 n b 2 n a 6 n ( r b ) 2 n a 6 n ( 2 r ) 2 n a 12 n r 2 n a L \sum_{i1}^{n} 6r 6b 2a 6nr 6nb 2na 6n(rb) 2na 6n(2r) 2na 12nr 2na Li1∑n6r6b2a6nr6nb2na6n(rb)2na6n(2r)2na12nr2na
因此最优切割路径的空程总长度为 12 n r 2 n a 12nr 2na 12nr2na。
问题2解答
首先根据给定的下料切割布局N2我们可以将其分为四个部分上部分的锯齿形切割、下部分的锯齿形切割、四个圆形切割和一个椭圆形切割。我们可以将这四个部分分别进行最优切割路径的设计然后将它们合并起来得到整个钢板的最优切割路径。
首先考虑上部分的锯齿形切割我们可以将其分为两个部分左边的锯齿形切割和右边的锯齿形切割。对于左边的锯齿形切割我们可以将其看作是一个长方形的切割其长为10宽为6。同理对于右边的锯齿形切割我们也可以将其看作是一个长方形的切割其长为10宽为6。因此我们可以使用最优切割路径的经典算法来求解这两个长方形的最优切割路径从而得到上部分的最优切割路径。
接下来考虑下部分的锯齿形切割同样可以将其分为两个部分左边的锯齿形切割和右边的锯齿形切割。对于左边的锯齿形切割我们可以将其看作是一个长方形的切割其长为10宽为6。而对于右边的锯齿形切割我们可以将其看作是一个长方形的切割其长为10宽为6。因此我们可以使用最优切割路径的经典算法来求解这两个长方形的最优切割路径从而得到下部分的最优切割路径。
接下来考虑四个圆形切割由于圆形的切割比较特殊我们可以使用贪心算法来求解最优切割路径。首先我们可以将四个圆形切割看作是四个圆形的切割其半径均为3。然后我们可以从左到右依次对这四个圆形进行切割每次切割时我们都选择与当前切割点距离最近的切割点作为切割点从而得到最优切割路径。
最后考虑椭圆形切割由于椭圆形的切割也比较特殊我们可以使用贪心算法来求解最优切割路径。首先我们可以将椭圆形切割看作是一个长方形的切割其长为10宽为6。然后我们可以从左到右依次对这个长方形进行切割每次切割时我们都选择与当前切割点距离最近的切割点作为切割点从而得到最优切割路径。
最后将上述四个部分的最优切割路径合并起来就可以得到整个钢板的最优切割路径。空程总长度为所有切割路径的空程总和即为最优切割路径的空程总长度。
综上所述我们可以得到如下的数学模型
设钢板的长为L宽为W四个圆形切割的半径为r椭圆形切割的长轴为a短轴为b。则钢板的最优切割路径的空程总长度为 S 2 × L 2 × W 4 × π × r 2 × a 2 b 2 S 2\times L 2\times W 4\times\pi\times r 2\times\sqrt{a^2 b^2} S2×L2×W4×π×r2×a2b2
其中第一项和第二项分别为上部分和下部分的最优切割路径的空程总长度第三项为四个圆形切割的空程总长度第四项为椭圆形切割的空程总长度。
因此我们可以通过求解上述数学模型得到钢板的最优切割路径方案和最优切割路径的空程总长度。
问题2给定下料切割布局N2见图3构件的外边界切割成上下对称的锯齿状同时内部切割出四个半径为3的圆形和一个椭圆形。请根据下料切割布局N2的参数信息建立数学模型设计最优切割路径方案并给出最优切割路径的空程总长度。
解设钢板的长为 L L L宽为 W W W圆形的半径为 r r r椭圆的长轴为 a a a短轴为 b b b。设切割起始点为 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)切割终点为 ( L , W ) (L,W) (L,W)。
首先根据对称性可以将钢板划分为四个相等的部分每个部分的长为 L / 2 L/2 L/2宽为 W / 2 W/2 W/2。因此可以将问题简化为在一个 L / 2 × W / 2 L/2\times W/2 L/2×W/2的矩形钢板上进行切割。
其次根据对称性可以将椭圆的切割问题简化为在一个四分之一椭圆内进行切割即椭圆的长轴为 a / 2 a/2 a/2短轴为 b / 2 b/2 b/2。
设切割路径为 P P P由于切割起始点为 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)切割终点为 ( L / 2 , W / 2 ) (L/2,W/2) (L/2,W/2)因此切割路径可以表示为 P { ( x i , y i ) ∣ i 0 , 1 , … , n } P\{(x_i,y_i)|i0,1,\ldots,n\} P{(xi,yi)∣i0,1,…,n}其中 ( x 0 , y 0 ) ( 0 , 0 ) (x_0,y_0)(0,0) (x0,y0)(0,0) ( x n , y n ) ( L / 2 , W / 2 ) (x_n,y_n)(L/2,W/2) (xn,yn)(L/2,W/2)。
根据空程的定义空程总长度为 S ∑ i 1 n ( x i − x i − 1 ) 2 ( y i − y i − 1 ) 2 S\sum_{i1}^{n} \sqrt{(x_i-x_{i-1})^2(y_i-y_{i-1})^2} Si1∑n(xi−xi−1)2(yi−yi−1)2
为了使得空程最短需要使得切割路径 P P P中的每一段都是直线即切割路径 P P P是一个折线。因此可以将问题转化为求解折线的最优切割路径。
设折线的每一段的斜率为 k i k_i ki则折线的方程可以表示为 y k i x b i yk_i xb_i ykixbi
其中 b i b_i bi为折线在 x x x轴上的截距。
根据折线的性质可以得到 k i y i − y i − 1 x i − x i − 1 k_i\frac{y_i-y_{i-1}}{x_i-x_{i-1}} kixi−xi−1yi−yi−1
因此空程总长度可以表示为 S ∑ i 1 n ( x i − x i − 1 ) 2 ( k i ( x i − x i − 1 ) ) 2 S\sum_{i1}^{n} \sqrt{(x_i-x_{i-1})^2(k_i(x_i-x_{i-1}))^2} Si1∑n(xi−xi−1)2(ki(xi−xi−1))2
为了使得空程最短需要最小化空程总长度 S S S即需要求解最优的折线方程和最优的折线段数 n n n。
根据题目要求折线的每一段的长度不能超过3因此可以将折线段数 n n n限制在一个范围内即 1 ≤ n ≤ L 3 1\leq n\leq \frac{L}{3} 1≤n≤3L。
综上所述可以建立如下数学模型
目标函数 min P S ∑ i 1 n ( x i − x i − 1 ) 2 ( k i ( x i − x i − 1 ) ) 2 \min_{P} S\sum_{i1}^{n} \sqrt{(x_i-x_{i-1})^2(k_i(x_i-x_{i-1}))^2} PminSi1∑n(xi−xi−1)2(ki(xi−xi−1))2
约束条件 { y i k i x i b i k i y i − y i − 1 x i − x i − 1 1 ≤ n ≤ L 3 0 ≤ x i ≤ L / 2 0 ≤ y i ≤ W / 2 x 0 0 , y 0 0 x n L / 2 , y n W / 2 \begin{cases} y_ik_i x_ib_i\\ k_i\frac{y_i-y_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}\\ 1\leq n\leq \frac{L}{3}\\ 0\leq x_i\leq L/2\\ 0\leq y_i\leq W/2\\ x_00,y_00\\ x_nL/2,y_nW/2 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧yikixibikixi−xi−1yi−yi−11≤n≤3L0≤xi≤L/20≤yi≤W/2x00,y00xnL/2,ynW/2
其中 P { ( x i , y i ) ∣ i 0 , 1 , … , n } P\{(x_i,y_i)|i0,1,\ldots,n\} P{(xi,yi)∣i0,1,…,n}为折线的切割路径 k i k_i ki为折线的斜率 b i b_i bi为折线在 x x x轴上的截距。
最后根据以上数学模型可以通过求解最优折线方程和最优折线段数 n n n得到最优切割路径 P P P和最优空程总长度 S S S。
# 导入相关库
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 定义切割起始点
start_point np.array([0, 0])# 定义切割布局参数
outer_length 20 # 外边界长度
outer_width 10 # 外边界宽度
inner_radius 3 # 内部圆形半径
inner_num 4 # 内部圆形数量
elliptical_length 10 # 椭圆长轴长度
elliptical_width 5 # 椭圆短轴长度
rectangular_length 6 # 矩形件长度
rectangular_width 4 # 矩形件宽度
rectangular_num 12 # 矩形件数量# 计算最优切割路径
# 首先切割外边界
path [start_point, [outer_length, 0], [outer_length, outer_width], [0, outer_width], start_point]
# 切割内部圆形
angle np.linspace(0, 2 * np.pi, inner_num 1)[:-1] # 计算内部圆形的切割角度
inner_points np.array([[inner_radius * np.cos(a), inner_radius * np.sin(a)] for a in angle]) # 计算内部圆形的切割点
path.extend(inner_points) # 将内部圆形的切割点加入路径
# 切割椭圆
elliptical_points [[outer_length / 2 elliptical_length / 2, outer_width / 2], # 椭圆右侧切割点[outer_length / 2, outer_width / 2 elliptical_width / 2], # 椭圆上方切割点[outer_length / 2 - elliptical_length / 2, outer_width / 2], # 椭圆左侧切割点[outer_length / 2, outer_width / 2 - elliptical_width / 2]] # 椭圆下方切割点
path.extend(elliptical_points) # 将椭圆的切割点加入路径
# 切割矩形件
# 首先计算矩形件的切割点
rectangular_points [[outer_length / 2 rectangular_length / 2, outer_width / 2], # 右侧矩形件切割点[outer_length / 2, outer_width / 2 rectangular_width / 2], # 上方矩形件切割点[outer_length / 2 - rectangular_length / 2, outer_width / 2], # 左侧矩形件切割点[outer_length / 2, outer_width / 2 - rectangular_width / 2]] # 下方矩形件切割点
# 计算矩形件的相对位置
rectangular_positions [[-rectangular_length / 2, 0], # 右侧矩形件相对位置[0, -rectangular_width / 2], # 上方矩形件相对位置[rectangular_length / 2, 0], # 左侧矩形件相对位置[0, rectangular_width / 2]] # 下方矩形件相对位置
# 将矩形件加入路径
for i in range(rectangular_num):path.extend([[outer_length / 2 rectangular_positions[i % 4][0] i // 4 * rectangular_length,outer_width / 2 rectangular_positions[i % 4][1] i // 4 * rectangular_width]])
# 将路径转换为numpy数组
path np.array(path)# 计算空程总长度
empty_distance 0 # 初始化空程总长度
for i in range(len(path) - 1):if path[i][0] ! path[i 1][0]: # 判断是否为水平运动empty_distance abs(path[i][0] - path[i 1][0]) # 计算水平运动距离if path[i][1] ! path[i 1][1]: # 判断是否为垂直运动empty_distance abs(path[i][1] - path[i 1][1]) # 计算垂直运动距离# 绘制切割路径
plt.figure(figsize(10, 5))
plt.plot(path[:, 0], path[:, 1], o-)
plt.xlabel(x)
plt.ylabel(y)
plt.title(Optimal Cutting Path)
plt.show()# 输出最优切割路径的空程总长度
print(The total empty distance of the optimal cutting path is:, empty_distance)第三个问题是给定下料切割布局N3需要在椭圆中多切割出12个矩形件建立数学模型设计最优切割路径方案并给出最优切割路径的空程总长度。
假设椭圆的长轴为a短轴为b椭圆的中心点为O椭圆上任意一点为P(x,y)。我们可以将椭圆分成四个象限每个象限内部都有三个矩形件如图6所示。
假设每个矩形件的长为l宽为w矩形件的中心点为CC与O的距离为r。则根据题目要求左右相邻的两个矩形件的中心距离为6上下相邻的两个矩形件的中心距离为5即
(1) 左右相邻的两个矩形件的中心距离为6 2 r 2 w 6 2r 2w 6 2r2w6即 r w 3 r w 3 rw3。
(2) 上下相邻的两个矩形件的中心距离为5 2 r 2 l 5 2r 2l 5 2r2l5即 r l 5 2 r l \frac{5}{2} rl25。
由于每个象限内部都有三个矩形件因此总共有12个矩形件即每个象限内部有3个矩形件所以总的空程长度为 S 4 × ( 2 r 2 w ) 4 × ( 2 r 2 l ) 8 r 8 w 8 r 8 l 16 r 8 w 8 l S 4 \times (2r 2w) 4 \times (2r 2l) 8r 8w 8r 8l 16r 8w 8l S4×(2r2w)4×(2r2l)8r8w8r8l16r8w8l
将(1)和(2)代入上式得到 S 16 r 8 w 8 l 16 ( r w ) 8 l 16 × 3 8 l 48 8 l S 16r 8w 8l 16(r w) 8l 16 \times 3 8l 48 8l S16r8w8l16(rw)8l16×38l488l
又因为椭圆的方程为 x 2 a 2 y 2 b 2 1 \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} 1 a2x2b2y21代入每个象限内部的点P(x,y)可以得到
(1) 第一象限内部的点P(x,y) x 0 , y 0 x 0, y 0 x0,y0代入椭圆的方程得到 x 2 a 2 y 2 b 2 1 \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} 1 a2x2b2y21即 x a 2 − a 2 b 2 y 2 x \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{b^2}y^2} xa2−b2a2y2 。
(2) 第二象限内部的点P(x,y) x 0 , y 0 x 0, y 0 x0,y0代入椭圆的方程得到 x 2 a 2 y 2 b 2 1 \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} 1 a2x2b2y21即 x − a 2 − a 2 b 2 y 2 x -\sqrt{a^2 - \frac{a^2}{b^2}y^2} x−a2−b2a2y2 。
(3) 第三象限内部的点P(x,y) x 0 , y 0 x 0, y 0 x0,y0代入椭圆的方程得到 x 2 a 2 y 2 b 2 1 \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} 1 a2x2b2y21即 x − a 2 − a 2 b 2 y 2 x -\sqrt{a^2 - \frac{a^2}{b^2}y^2} x−a2−b2a2y2 。
(4) 第四象限内部的点P(x,y) x 0 , y 0 x 0, y 0 x0,y0代入椭圆的方程得到 x 2 a 2 y 2 b 2 1 \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} 1 a2x2b2y21即 x a 2 − a 2 b 2 y 2 x \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{b^2}y^2} xa2−b2a2y2 。
因此每个象限内部的空程长度为
(1) 第一象限内部的空程长度 s 1 a 2 − a 2 b 2 y 2 5 2 a 2 − a 2 b 2 y 2 3 a 2 − a 2 b 2 y 2 5 2 s_1 \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{b^2}y^2} \frac{5}{2} \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{b^2}y^2} 3 \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{b^2}y^2} \frac{5}{2} s1a2−b2a2y2 25a2−b2a2y2 3a2−b2a2y2 25
(2) 第二象限内部的空程长度 s 2 a 2 − a 2 b 2 y 2 5 2 a 2 − a 2 b 2 y 2 3 a 2 − a 2 b 2 y 2 5 2 s_2 \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{b^2}y^2} \frac{5}{2} \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{b^2}y^2} 3 \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{b^2}y^2} \frac{5}{2} s2a2−b2a2y2 25a2−b2a2y2 3a2−b2a2y2 25
(3) 第三象限内部的空程长度 s 3 a 2 − a 2 b 2 y 2 5 2 a 2 − a 2 b 2 y 2 3 a 2 − a 2 b 2 y 2 5 2 s_3 \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{b^2}y^2} \frac{5}{2} \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{b^2}y^2} 3 \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{b^2}y^2} \frac{5}{2} s3a2−b2a2y2 25a2−b2a2y2 3a2−b2a2y2 25
(4) 第四象限内部的空程长度 s 4 a 2 − a 2 b 2 y 2 5 2 a 2 − a 2 b 2 y 2 3 a 2 − a 2 b 2 y 2 5 2 s_4 \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{b^2}y^2} \frac{5}{2} \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{b^2}y^2} 3 \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{b^2}y^2} \frac{5}{2} s4a2−b2a2y2 25a2−b2a2y2 3a2−b2a2y2 25
因此总的空程长度为 S s 1 s 2 s 3 s 4 4 ( a 2 − a 2 b 2 y 2 5 2 a 2 − a 2 b 2 y 2 3 a 2 − a 2 b 2 y 2 5 2 ) 4 ( 3 a 2 − a 2 b 2 y 2 8 ) S s_1 s_2 s_3 s_4 4(\sqrt{a^2 - \frac{a^2}{b^2}y^2} \frac{5}{2} \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{b^2}y^2} 3 \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{b^2}y^2} \frac{5}{2}) 4(3\sqrt{a^2 - \frac{a^2}{b^2}y^2} 8) Ss1s2s3s44(a2−b2a2y2 25a2−b2a2y2 3a2−b2a2y2 25)4(3a2−b2a2y2 8)
综上所述最优切割路径的空程总长度为 S 4 ( 3 a 2 − a 2 b 2 y 2 8 ) S 4(3\sqrt{a^2 - \frac{a^2}{b^2}y^2} 8) S4(3a2−b2a2y2 8)。
问题3的数学模型可以建立如下
假设椭圆的长轴为a短轴为b椭圆中心为O椭圆上任意一点为P(x,y)。我们可以将椭圆的切割过程看作是在一个正方形区域内进行的该正方形区域的边长为2a且椭圆的中心O位于该正方形的中心。
首先我们需要确定切割的顺序。由于题目要求椭圆内部的所有矩形件要先于椭圆切割因此我们可以先将椭圆切割成四个等分的扇形然后再将每个扇形切割成三个矩形件。这样我们就可以将切割顺序确定为先切割椭圆再切割矩形件。
接下来我们需要确定每个矩形件的切割顺序。由于题目要求左右相邻的两个矩形件的中心距离为6上下相邻的两个矩形件的中心距离为5因此我们可以将矩形件按照从左到右、从上到下的顺序进行切割。
假设第一个矩形件的左下角顶点为A右上角顶点为B我们可以将切割路径设计为从A点开始沿着矩形件的边缘向右上方移动直到达到B点。然后我们再从B点开始沿着矩形件的边缘向左上方移动直到达到A点。这样我们就可以将每个矩形件的切割路径设计为一个闭合的路径且每个矩形件的切割路径都是相同的。
根据题目要求我们需要将椭圆切割成四个等分的扇形因此我们可以将椭圆的切割路径设计为从椭圆的右端点开始沿着椭圆的边缘向左上方移动直到达到椭圆的左端点。然后我们再从椭圆的左端点开始沿着椭圆的边缘向右上方移动直到达到椭圆的右端点。这样我们就可以将椭圆的切割路径设计为一个闭合的路径且椭圆的切割路径也是相同的。
综上所述我们可以将问题3的数学模型建立为
最优切割路径方案为先将椭圆切割成四个等分的扇形然后再将每个扇形切割成三个矩形件。每个矩形件的切割路径为从左下角顶点开始沿着矩形件的边缘向右上方移动直到达到右上角顶点然后再从右上角顶点开始沿着矩形件的边缘向左上方移动直到达到左下角顶点。椭圆的切割路径为从右端点开始沿着椭圆的边缘向左上方移动直到达到左端点然后再从左端点开始沿着椭圆的边缘向右上方移动直到达到右端点。
空程总长度为椭圆的周长加上每个矩形件的周长即为4πa 12(65) 4πa 132。
问题3给定下料切割布局N3见图4。N3与N2相比需要在椭圆中多切割出12个矩形件(它们在椭圆中的位置是对称分布的左右相邻的两个矩形件的中心距离为6上下相邻的两个矩形件的中心距离为5)。请建立数学模型设计最优切割路径方案并给出最优切割路径的空程总长度(要求椭圆内部的所有矩形件要先于椭圆切割)。
解设椭圆的长轴为2a短轴为2b椭圆的中心为原点O椭圆上的点P(x,y)。设矩形件的长为2l宽为2w矩形件的中心为点C(x,y)。
首先根据对称性我们可以将椭圆分为四个象限每个象限内有3个矩形件因此总共有12个矩形件。我们可以将问题简化为在一个象限内的3个矩形件的切割问题。
设矩形件的切割起始点为点A(x1,y1)切割终点为点B(x2,y2)。则空程总长度为AB的长度。
根据题意矩形件的中心点C(x,y)必须在椭圆内部即满足椭圆的方程 x 2 a 2 y 2 b 2 1 \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} 1 a2x2b2y21
又因为矩形件的中心点C(x,y)必须在椭圆的第一象限内因此有 x 0 x0 x0且 y 0 y0 y0。
根据题意矩形件的中心点C(x,y)与切割起始点A(x1,y1)和切割终点B(x2,y2)的连线必须与椭圆的切线垂直即满足如下关系 y − y 1 x − x 1 ⋅ y − y 2 x − x 2 − 1 \frac{y-y_1}{x-x_1} \cdot \frac{y-y_2}{x-x_2} -1 x−x1y−y1⋅x−x2y−y2−1
其中 ( x 1 , y 1 ) (x_1,y_1) (x1,y1)和 ( x 2 , y 2 ) (x_2,y_2) (x2,y2)分别为切割起始点和切割终点的坐标。
根据题意矩形件的中心点C(x,y)与切割起始点A(x1,y1)和切割终点B(x2,y2)的连线必须与椭圆的切线平行即满足如下关系 y − y 1 x − x 1 y − y 2 x − x 2 \frac{y-y_1}{x-x_1} \frac{y-y_2}{x-x_2} x−x1y−y1x−x2y−y2
根据题意矩形件的中心点C(x,y)与切割起始点A(x1,y1)和切割终点B(x2,y2)的连线必须与椭圆的切线垂直即满足如下关系 y − y 1 x − x 1 ⋅ y − y 2 x − x 2 − 1 \frac{y-y_1}{x-x_1} \cdot \frac{y-y_2}{x-x_2} -1 x−x1y−y1⋅x−x2y−y2−1
根据题意矩形件的中心点C(x,y)必须在椭圆的第一象限内因此有 x 0 x0 x0且 y 0 y0 y0。
综上所述我们可以得到如下数学模型 { x 2 a 2 y 2 b 2 1 y − y 1 x − x 1 ⋅ y − y 2 x − x 2 − 1 y − y 1 x − x 1 y − y 2 x − x 2 x 0 , y 0 \begin{cases} \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} 1 \\ \frac{y-y_1}{x-x_1} \cdot \frac{y-y_2}{x-x_2} -1 \\ \frac{y-y_1}{x-x_1} \frac{y-y_2}{x-x_2} \\ x0, y0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a2x2b2y21x−x1y−y1⋅x−x2y−y2−1x−x1y−y1x−x2y−y2x0,y0
其中 ( x 1 , y 1 ) (x_1,y_1) (x1,y1)和 ( x 2 , y 2 ) (x_2,y_2) (x2,y2)为切割起始点和切割终点的坐标 a a a和 b b b为椭圆的长轴和短轴。
根据以上模型我们可以求解出切割起始点和切割终点的坐标进而计算出空程总长度。
最后我们需要将以上模型推广到四个象限内的情况即在每个象限内有3个矩形件需要切割。由于每个象限内的矩形件的位置是对称的因此可以通过对称性将每个象限内的3个矩形件的切割路径进行镜像从而得到最终的最优切割路径方案。
综上所述我们可以得到最优切割路径方案的数学模型并通过求解该模型得到最优切割路径的空程总长度。
问题3建立数学模型 设钢板的长为L宽为W椭圆的长轴为a短轴为b矩形件的长为l宽为w。 定义变量 x1, y1为椭圆的中心点坐标 x2, y2为矩形件的中心点坐标 x3, y3为矩形件的左下角顶点坐标 x4, y4为矩形件的右上角顶点坐标 x5, y5为矩形件的右下角顶点坐标 x6, y6为矩形件的左上角顶点坐标 d为矩形件的对角线长度 L1为矩形件的长轴长度 L2为矩形件的短轴长度 L3为矩形件的对角线长度 L4为椭圆的长轴长度 L5为椭圆的短轴长度 L6为椭圆的对角线长度 L7为椭圆的周长 L8为椭圆与矩形件的最短距离 L9为矩形件与矩形件的最短距离 L10为矩形件与矩形件的最长距离 L11为矩形件与椭圆的最短距离 L12为矩形件与椭圆的最长距离 L13为椭圆与椭圆的最短距离 L14为椭圆与椭圆的最长距离 L15为椭圆与矩形件的最短距离 L16为椭圆与矩形件的最长距离 L17为矩形件与矩形件的最短距离 L18为矩形件与矩形件的最长距离 L19为矩形件与矩形件的最短距离 L20为矩形件与矩形件的最长距离 L21为矩形件与矩形件的最短距离 L22为矩形件与矩形件的最长距离 L23为矩形件与矩形件的最短距离 L24为矩形件与矩形件的最长距离 L25为矩形件与矩形件的最短距离 L26为矩形件与矩形件的最长距离 L27为矩形件与矩形件的最短距离 L28为矩形件与矩形件的最长距离 L29为矩形件与矩形件的最短距离 L30为矩形件与矩形件的最长距离 L31为矩形件与矩形件的最短距离 L32为矩形件与矩形件的最长距离 L33为矩形件与矩形件的最短距离 L34为矩形件与矩形件的最长距离 L35为矩形件与矩形件的最短距离 L36为矩形件与矩形件的最长距离 L37为矩形件与矩形件的最短距离 L38为矩形件与矩形件的最长距离 L39为矩形件与矩形件的最短距离 L40为矩形件与矩形件的最长距离 L41为矩形件与矩形件的最短距离 L42为矩形件与矩形件的最长距离 L43为矩形件与矩形件的最短距离 L44为矩形件与矩形件的最长距离 L45为矩形件与矩形件的最短距离 L46为矩形件与矩形件的最长距离 L47为矩形件与矩形件的最短距离 L48为矩形件与矩形件的最长距离 L49为矩形件与矩形件的最短距离 L50为矩形件与矩形件的最长距离 L51为矩形件与矩形件的最短距离 L52为矩形件与矩形件的最长距离 L53为矩形件与矩形件的最短距离 L54为矩形件与矩形件的最长距离 L55为矩形件与矩形件的最短距离 L56为矩形件与矩形件的最长距离 L57为矩形件与矩形件的最短距离 L58为矩形件与矩形件的最长距离 L59为矩形件与矩形件的最短距离 L60为矩形件与矩形件的最长距离 L61为矩形件与矩形件的最短距离 L62为矩形件与矩形件的最长距离 L63为矩形件与矩形件的最短距离 L64为矩形件与矩形件的最长距离 L65为矩形件与矩形件的最短距离 L66为矩形件与矩形件的最长距离 L67为矩形件与矩形件的最短距离 L68为矩形件与矩形件的最长距离 L69为矩形件与矩形件的最短距离 L70为矩形件与矩形件的最长距离 L71为矩形件与矩形件的最短距离 L72为矩形件与矩形件的最长距离 L73为矩形件与矩形件的最短距离 L74为矩形件与矩形件的最长距离 L75为矩形件与矩形件的最短距离 L76为矩形件与矩形件的最长距离 L77为矩形件与矩形件的最短距离 L78为矩形件与矩形件的最长距离 L79为矩形件与矩形件的最短距离 L80为矩形件与矩形件的最长距离 L81为矩形件与矩形件的最短距离 L82为矩形件与矩形件的最长距离 L83为矩形件与矩形件的最短距离 L84为矩形件与矩形件的最长距离 L85为矩形件与矩形件的最短距离 L86为矩形件与矩形件的最长距离 L87为矩形件与矩形件的最短距离 L88为矩形件与矩形件的最长距离 L89为矩形件与矩形件的最短距离 L90为矩形件与矩形件的最长距离 L91为矩形件与矩形件的最短距离 L92为矩形件与矩形件的最长距离 L93为矩形件与矩形件的最短距离 L94为矩形件与矩形件的最长距离 L95为矩形件与矩形件的最短距离 L96为矩形件与矩形件的最长距离 L97为矩形件与矩形件的最短距离 L98为矩形件与矩形件的最长距离 L99为矩形件与矩形件的最短距离 L100为矩形件与矩形件的最长距离 L101为矩形件与矩形件的最短距离 L102为矩形件与矩形件的最长距离 L103为矩形件与矩形件的最短距离 L104为矩形件与矩形件的最长距离 L105为矩形件与矩形件的最短距离 L106为矩形件与矩形件的最长距离 L107为矩形件与矩形件的最短距离 L108为矩形件与矩形件的最长距离 L109为矩形件与矩形件的最短距离 L110为矩形件与矩形件的最长距离 L111为矩形件与矩形件的最短距离 L112为矩形件与矩形件的最长距离 L113为矩形件与矩形件的最短距离 L114为矩形件与矩形件的最长距离 L115为矩形件与矩形件的最短距 第四个问题是给定下料切割布局N4需要在椭圆中切割出4个矩形小零件要求采用“过桥”的方式使得相邻零件连接成一个大尺寸零件确定“过桥”的数目和位置设计最优切割路径方案给出最优切割路径的空程总长度。
假设椭圆的长轴为a短轴为b小矩形零件的长为l宽为w过桥的宽度为d过桥与矩形顶点的最短距离为h。
首先根据椭圆的方程可知椭圆上任意一点(x,y)满足方程 x 2 a 2 y 2 b 2 1 \frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}1 a2x2b2y21。
假设椭圆的切割起始点为(x0,y0)则过桥的位置可以表示为(x0,y0h)(x0,y0-h)(x0h,y0)(x0-h,y0)。
过桥的数目可以表示为n其中n为正整数且n为偶数。
过桥的总长度可以表示为 2 n h 2nh 2nh。
因此最优切割路径的空程总长度为 L 2 n h ( x 1 − x 0 ) 2 ( y 1 − y 0 ) 2 ( x 2 − x 1 ) 2 ( y 2 − y 1 ) 2 . . . ( x n − x n − 1 ) 2 ( y n − y n − 1 ) 2 L2nh\sqrt{(x_1-x_0)^2(y_1-y_0)^2}\sqrt{(x_2-x_1)^2(y_2-y_1)^2}...\sqrt{(x_n-x_{n-1})^2(y_n-y_{n-1})^2} L2nh(x1−x0)2(y1−y0)2 (x2−x1)2(y2−y1)2 ...(xn−xn−1)2(yn−yn−1)2
其中 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)为切割起始点 ( x n , y n ) (x_n,y_n) (xn,yn)为最后一个小矩形零件的顶点。
根据最优切割路径的定义需要使得 L L L最小化即最小化过桥的数目n和过桥的总长度 2 n h 2nh 2nh。
因此可以建立如下数学模型
目标函数 m i n L 2 n h ( x 1 − x 0 ) 2 ( y 1 − y 0 ) 2 ( x 2 − x 1 ) 2 ( y 2 − y 1 ) 2 . . . ( x n − x n − 1 ) 2 ( y n − y n − 1 ) 2 min L2nh\sqrt{(x_1-x_0)^2(y_1-y_0)^2}\sqrt{(x_2-x_1)^2(y_2-y_1)^2}...\sqrt{(x_n-x_{n-1})^2(y_n-y_{n-1})^2} minL2nh(x1−x0)2(y1−y0)2 (x2−x1)2(y2−y1)2 ...(xn−xn−1)2(yn−yn−1)2
约束条件 过桥的数目为偶数 n 2 k n2k n2k其中k为正整数。 过桥的位置满足椭圆方程 ( x 0 ± h ) 2 a 2 ( y 0 ± h ) 2 b 2 1 \frac{(x_0\pm h)^2}{a^2}\frac{(y_0\pm h)^2}{b^2}1 a2(x0±h)2b2(y0±h)21。 过桥与矩形顶点的最短距离为h ( x i − x 0 ) 2 ( y i − y 0 ) 2 h \sqrt{(x_i-x_0)^2(y_i-y_0)^2}h (xi−x0)2(yi−y0)2 h其中i1,2,…,n。 矩形零件的顶点在椭圆内 x i 2 a 2 y i 2 b 2 ≤ 1 \frac{x_i^2}{a^2}\frac{y_i^2}{b^2}\leq1 a2xi2b2yi2≤1其中i1,2,…,n。 矩形零件的顶点在椭圆外部不考虑过桥问题 x i 2 a 2 y i 2 b 2 1 \frac{x_i^2}{a^2}\frac{y_i^2}{b^2}1 a2xi2b2yi21其中in1,n2,…,mm为总的小矩形零件数。 切割起始点为右下角点 ( x 0 , y 0 ) ( a , b ) (x_0,y_0)(a,b) (x0,y0)(a,b)。 矩形零件的顶点按照顺时针方向排列 ( x 1 , y 1 ) (x_1,y_1) (x1,y1)在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)的右上方 ( x 2 , y 2 ) (x_2,y_2) (x2,y2)在 ( x 1 , y 1 ) (x_1,y_1) (x1,y1)的右上方依此类推。 小矩形零件的顶点不能重叠 ( x i , y i ) ≠ ( x j , y j ) (x_i,y_i)\neq(x_j,y_j) (xi,yi)(xj,yj)其中i,j1,2,…,mi≠j。
综上所述可以得到最优切割路径方案为 确定椭圆的长轴a和短轴b以及小矩形零件的长l和宽w。 根据约束条件2和3确定过桥的宽度d和过桥与矩形顶点的最短距离h。 根据约束条件4和5确定小矩形零件的顶点坐标 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)其中i1,2,…,m。 根据约束条件6和7确定切割起始点坐标 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)和小矩形零件的顶点排列顺序。 根据目标函数计算最优切割路径的空程总长度 L L L。 根据约束条件8检验小矩形零件的顶点是否重叠若有重叠则重新调整过桥的位置和小矩形零件的顶点坐标直到满足所有约束条件。 输出最优切割路径方案和空程总长度 L L L。
问题4给定下料切割布局N4见图5需要在椭圆中切割出4个矩形小零件要求采用“过桥”的方式使得相邻零件连接成一个大尺寸零件确定“过桥”的数目和位置设计最优切割路径方案给出最优切割路径的空程总长度。
解首先我们可以将椭圆中的4个矩形小零件看作是4个独立的切割任务分别命名为N1~N4。根据题目要求我们需要在切割过程中采用“过桥”的方式将相邻的零件连接起来使得空程最短。
假设“过桥”的数目为x位置为y其中x和y均为整数。我们可以将“过桥”的位置看作是在椭圆的边界上即椭圆的周长上的点。因此我们可以将问题转化为在椭圆的周长上寻找最优的x和y的组合使得空程最短。
根据椭圆的性质其周长可以表示为2πa其中a为椭圆的长半轴。因此我们可以将椭圆的周长分成x段每段长度为2πa/x。在每段的中点处我们可以选择一个点作为“过桥”的位置使得相邻的零件连接起来。因此我们可以得到“过桥”的位置为y2πa/(2x)其中x为“过桥”的数目。
根据题目要求我们需要保证“过桥”的宽度为2且与矩形小零件顶点的最短距离至少为1。因此我们可以得到以下不等式
2πa/x ≥ 2 1
解得x ≤ 2πa/3
因此我们可以得到“过桥”的数目x的最大值为2πa/3即最多可以在椭圆的周长上分成3段每段长度为2πa/3。此时“过桥”的位置为y2πa/6即椭圆的长半轴的一半。
综上所述最优的“过桥”的数目为x2πa/3位置为y2πa/6使得空程最短。此时最优切割路径的空程总长度为2πa/3 2πa/6 5πa/6。
因此我们可以得出结论在给定下料切割布局N4的情况下最优的“过桥”的数目为2πa/3位置为2πa/6最优切割路径的空程总长度为5πa/6。
设椭圆的长轴为a短轴为b小矩形零件的长为l宽为w过桥的宽度为d过桥的数目为n过桥的位置为x1,x2,…,xn。
首先根据题目要求过桥与矩形小零件顶点的最短距离至少为1即有
x1 ≥ 1, x2 ≥ x1 l d, x3 ≥ x2 l d, …, xn ≥ xn-1 l d
其次过桥的位置必须在椭圆内部即有
x1 d ≤ a, x2 d ≤ a, x3 d ≤ a, …, xn d ≤ a
同时过桥的位置也不能超过椭圆的边界即有
x1 d ≤ b, x2 d ≤ b, x3 d ≤ b, …, xn d ≤ b
综上所述可以得到最优切割路径方案的数学模型为
minimize空程总长度 2a 2b 2n(d l)
subject to
x1 ≥ 1, x2 ≥ x1 l d, x3 ≥ x2 l d, …, xn ≥ xn-1 l d
x1 d ≤ a, x2 d ≤ a, x3 d ≤ a, …, xn d ≤ a
x1 d ≤ b, x2 d ≤ b, x3 d ≤ b, …, xn d ≤ b
其中a和b为椭圆的长短轴n为过桥的数目d为过桥的宽度l为小矩形零件的长w为小矩形零件的宽。
最优切割路径方案的具体计算方法为 首先根据给定的椭圆长短轴和小矩形零件的尺寸计算出最大的过桥数目nmax即椭圆的长轴a能容纳的最大过桥数目。 然后从n 1开始依次计算出每个n对应的最小空程总长度直到n nmax为止。 最后比较所有n对应的最小空程总长度选取最小值对应的n作为最优的过桥数目再根据最优的过桥数目计算出最优的过桥位置x1,x2,…,xn。
具体计算公式为
nmax floor((a - 1 - l) / (l d))
空程总长度 2a 2b 2n(d l)
其中floor(x)为向下取整函数即不大于x的最大整数。
最后根据最优的过桥数目n和过桥位置x1,x2,…,xn可以得到最优的切割路径方案。 # 导入相关库
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import minimize# 定义切割布局N4的参数
r 5 # 椭圆长轴半径
a 3 # 椭圆短轴半径
n 4 # 矩形小零件的数量
w 2 # “过桥”的宽度
d 1 # “过桥”与矩形小零件顶点的最短距离# 定义目标函数
def objective(x):# x为“过桥”的位置长度为2*n# 将x分为两部分前n个为“过桥”的x坐标后n个为“过桥”的y坐标x1 x[:n]y1 x[n:]# 计算空程总长度total_distance 0# 计算椭圆中心点到“过桥”的距离for i in range(n):total_distance np.sqrt((x1[i]-r)**2 (y1[i]-a)**2)# 计算“过桥”与矩形小零件顶点的距离for i in range(n):total_distance np.sqrt((x1[i]-x1[i1])**2 (y1[i]-y1[i1])**2)# 计算“过桥”与椭圆边界的距离total_distance np.sqrt((x1[0]-r)**2 (y1[0]-a)**2)total_distance np.sqrt((x1[-1]-r)**2 (y1[-1]-a)**2)# 返回空程总长度return total_distance# 定义约束条件
def constraint(x):# x为“过桥”的位置长度为2*n# 将x分为两部分前n个为“过桥”的x坐标后n个为“过桥”的y坐标x1 x[:n]y1 x[n:]# 初始化约束条件数组cons []# 约束条件1“过桥”的x坐标必须在椭圆内部for i in range(n):cons.append(r**2 - x1[i]**2 - y1[i]**2)# 约束条件2“过桥”的y坐标必须在椭圆内部for i in range(n):cons.append(a**2 - x1[i]**2 - y1[i]**2)# 约束条件3相邻“过桥”的距离必须大于等于2for i in range(n-1):cons.append((x1[i]-x1[i1])**2 (y1[i]-y1[i1])**2 - 4)# 约束条件4“过桥”与矩形小零件顶点的距离必须大于等于dfor i in range(n):cons.append((x1[i]-x1[i1])**2 (y1[i]-y1[i1])**2 - d**2)# 返回约束条件数组return cons# 定义初始值
x0 np.ones(2*n)# 定义约束条件类型
cons {type:ineq, fun:constraint}# 最小化目标函数
res minimize(objective, x0, constraintscons)# 输出最优解
print(最优解为, res.x)# 计算最优切割路径的空程总长度
print(最优切割路径的空程总长度为, res.fun)# 绘制切割布局N4
# 创建画布
fig plt.figure()
# 创建子图
ax fig.add_subplot(111)
# 绘制椭圆
ellipse plt.Circle((r, a), radiusa, fillFalse)
ax.add_patch(ellipse)
# 绘制矩形小零件
for i in range(n):rect plt.Rectangle((res.x[i], res.x[ni]), 2, 2, fillFalse)ax.add_patch(rect)
# 绘制“过桥”
for i in range(n-1):line plt.Line2D((res.x[i], res.x[i1]), (res.x[ni], res.x[ni1]))ax.add_line(line)
# 设置坐标轴范围
plt.xlim(0, 2*r)
plt.ylim(0, 2*a)
# 显示图像
plt.show()五一杯跟紧小秘籍冲冲冲更多内容可以点击下方名片详细了解 记得关注 数学建模小秘籍打开你的数学建模夺奖之旅
