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构造题 要求解题者通过观察问题的结构和规律#xff0c;找到一种通用的方法或模式#xff0c;使得在问题规模增大时#xff0c;依然能够高效地得到答案。
在解决构造题时#xff0c;以下几点思考是很重要的:
观察问题规模的增长:了解问题随着规模的增大…什么是构造
构造题 要求解题者通过观察问题的结构和规律找到一种通用的方法或模式使得在问题规模增大时依然能够高效地得到答案。
在解决构造题时以下几点思考是很重要的:
观察问题规模的增长:了解问题随着规模的增大答案的变化趋势。这可以帮助你找到一种通用的解决方案。推广规律:尝试将你观察到的规律推广到更大的问题规模上。这可能涉及到数学归纳法或者其他类似的思考方式。考虑状态转移(适用于动态规划等问题):如果问题可以通过状态转移来求解那么要仔细考虑从一个状态到另一个状态的转移会带来什么影响。模式识别:尝试寻找问题中的模式或者特征这有助于你更好地理解问题的本质。实践和练习:通过解决大量的构造题你会逐渐培养出发现规律和应用通用方法的能力。注意特殊情况:一些构造题在特定的情况下可能会有不同的解法或者规律要注意考虑这些特殊情况。 总的来说解决构造题需要一定的观察力、归纳能力和数学思维。随着练习的增多你会变得越来越熟练在这类问题上。
构造题目的特点
高自由度 一道题的构造方式可能存在多种但往往会有一种相对简单且能够满足题意的构造方式。 这种特性看似降低了难度使问题更易理解但实际上这种高自由度往往会导致考生在面对题目时感到迷茫难以找到明确的解题思路。形式的灵活性和多样性: 并不存在一个通用解法或套路适用于所有构造题甚至很难找出解题思路的天性。 这意味着解决构造题需要考生具备灵活的思维善于观察和归纳以便在面对各种不同形式的题目时能够找到切入点和解题方法。
面对构造题的特点通过以下方法更有效地解决这类问题
分析题目要求和条件: 仔细阅读题目确保你理解了题目的要求和所给的条件。 弄清楚问题的背景和目标明确你需要构造的内容或解决的问题。尝试特例和极端情况: 试图找出一些特殊情况下的解法这可以帮助你更好地理解问题的本质。探索极端情况看看在极端条件下是否会出现特殊的构造方式或者规律寻找模式和规律: 观察题目中是否存在一些明显的模式或者规律这可能是解决问题的关键尝试从已知的情况中找到一般性的解法并推广到更一般的情况。尝试逆向构造: 从问题的反面思考也可以给出有用的线索。尝试反向推导出符合条件的情况。使用数学归纳法: 尝试使用数学归纳法证明某种构造方式在所有情况下都成立。灵活运用已知知识: 将已学的数学、物理、逻辑等知识灵活应用可能会为你找到新的解法。反复实践和总结: 多做类似的题目总结解题经验找出有效的解题方法虽然不存在通解但是部分构造题可能会用到相似的套路如果能够有做题的广度并且经常总结那么对于你解决构造题目是非常有帮助的。保持耐心和信心: 构造题可能需要时间和多次尝试才能找到合适的解法保持耐心和信心是很重要的
构造的应用场景
构造题目在算法竞赛中起着重要的作用它们旨在考察选手对问题的抽象能力、发现规律的能力以及解决问题的创造性思维。以下是一些构造题目在算法竞赛中的常见应用场景:
数学问题: 构造满足一定条件的数列、集合或排列组合。 利用数学关系构造出特定的解。图论问题: ·构造特定的图结构如树、图、有向图等。 根据题意构造出满足条件的图。字符串处理: 构造满足字符串性质的解如回文串、循环字符串等 构造满足特定字符串操作的解。组合与排列: 构造出满足一定条件的排列或组合 根据条件构造特定的排列组合解。游戏策略: 设计游戏规则构造出有趣的游戏场景考验选手的策略思维。逻辑推理: 构造逻辑谜题或者推理题要求选手根据题目信息进行推理得出正确答案。数据结构: 构造特定的数据结构如堆、树、图等要求选手在构造的基础上进行一系列操作动态规划: 构造状态转移方程设计合适的状态表示构造动态规划解。贪心算法: 构造出合适的贪心策略使得贪心策略能够得到最优解模拟问题: 设计模拟题要求选手模拟特定场景或过程根据模拟的结果得出答案
这些是一些常见的构造题目应用场景。构造题目的特点是多样化可以涵盖许多不同的领域和难度级别有助于培养选手的创造性解决问题的能力。因此在算法竞赛中构造题目通常被认为是一种重要的题型。
例题1
蓝桥小蓝喜欢数学他特别喜欢做数学题有一天他遇到了一个有趣的数学题: 1 x 1 y 1 z 1 N \frac{1}{x}\frac{1}{y}\frac{1}{z}\frac{1}{N} x1y1z1N1 现在给定一个正整数N小蓝想知道当x、y、z取何值时上述等式成立。请你帮助小蓝找到满足条件的整数 x、y、z。 输入: 输入包含一个正整数N(1≤N≤1000)。 输出: 如果存在满足条件的整数x、yz则输出一个满足条件的解以空格分隔。如果有多组解请输出任意一组即可。 如果不存在满足条件的解则输出No Solution。
样例
样例1: 输入:N1 输出:2 3 6 样例2: 输入:N 2 输出:4 6 12
题目解析 1 x 1 y 1 z 1 N \frac{1}{x}\frac{1}{y}\frac{1}{z}\frac{1}{N} x1y1z1N1 这个题如果数学题做的多的话我们能够很快想到: 当N2时 1 / 2 1 / 4 1 / 4 1 / 4 3 / 12 1 / 12 2 / 12 1 / 12 1 / 6 1/21/41/41/43/121/122/121/121/6 1/21/41/41/43/121/122/121/121/6,所以 x 4 , y 6 , z 12 x4 ,y6, z12 x4,y6,z12 当N3时 1 / 3 1 / 6 1 / 6 , 1 / 6 3 / 18 1 / 18 2 / 18 1 / 18 1 / 9 1/31/61/6,1/63/181/182/181/181/9 1/31/61/6,1/63/181/182/181/181/9,所以 x 6 , y 9 , z 18 x6, y9 ,z18 x6,y9,z18 这里的答案就跟样例不同了因为是构造体案比较开放题目的样例是随机出现一般出题人可能会用一些比较偏的数据误导做题人。 当N4时 1 / 4 1 / 8 1 / 8 1 / 8 1 / 12 1 / 24 1/41/81/81/81/121/24 1/41/81/81/81/121/24所以 x 8 , y 12 , z 24 x8 ,y12, z24 x8,y12,z24 显然我们可以推导得到 当Nn时 x 2 n , y 3 n , z 6 n x2n, y3n,z6n x2n,y3n,z6n为原式的一组解 这个题目可以归类于数学题目我们需要构造出一组满足某个式子的解。
除此之外有个关于1/n的推论1/n1/(n1)1/(n*(n1)) 1 n 1 n 1 1 n ∗ ( n 1 ) \frac{1}{n}\frac{1}{n1}\frac{1}{n*(n1)} n1n11n∗(n1)1 令n1t则 1 n 1 1 t \frac{1}{n1}\frac{1}{t} n11t1再带入 1 n \frac{1}{n} n1的公式得 1 t 1 t 1 1 t ∗ ( t 1 ) \frac{1}{t}\frac{1}{t1}\frac{1}{t*(t1)} t1t11t∗(t1)1 tn1带回得 1 n 1 1 n 2 1 ( n 1 ) ∗ ( n 2 ) \frac{1}{n1}\frac{1}{n2}\frac{1}{(n1)*(n2)} n11n21(n1)∗(n2)1 原式 1 n 1 n 1 1 ( n ) ∗ ( n 1 ) 1 n 2 1 ( n 1 ) ∗ ( n 2 ) 1 n ∗ ( n 1 ) \frac{1}{n}\frac{1}{n1}\frac{1}{(n)*(n1)}\frac{1}{n2}\frac{1}{(n1)*(n2)}\frac{1}{n*(n1)} n1n11(n)∗(n1)1n21(n1)∗(n2)1n∗(n1)1 当n2时 1 2 1 4 1 12 1 6 , x 4 , y 6 , z 12 \frac{1}{2}\frac{1}{4}\frac{1}{12}\frac{1}{6},x4,y6,z12 214112161,x4,y6,z12 当n3时 1 3 1 5 1 20 1 12 , x 5 , y 12 , z 20 \frac{1}{3}\frac{1}{5}\frac{1}{20}\frac{1}{12},x5,y12,z20 3151201121,x5,y12,z20
例题2
给定一个正整数n。你的任务是找到任意三个整数a、b和c(0≤a,b,c≤10^9)使得(a㊉b)(b㊉c)(a㊉c)n或者确定不存在这样的整数。 这里a㊉b表示a和b的按位异或运算。例如2㊉463㊉12。
输入
每个测试包含多个测试用例。 第一行包含一个整数t(1≤t≤10^4)–测试用例的数量。接下来的t行包含测试用例的描述 每个测试用例的唯一一行包含一个整数n(1≤n≤10^9)
输出
对于每个测试用例输出任意三个整数a、b和c(0≤a,b,c≤10^9)使得(a㊉b)(b㊉c)(a㊉c)n。如果不存在这样的整数则输出-1。
题目解析
多组样例每组样例一个n问我们能不能找到三个数满足等式(a㊉b)(b㊉c)(a㊉c)n,如果能找到就输出abc否则输出-1
首先我们可以观察到以下性质: 奇数与奇数进行异或运算会得到一个偶数。 偶数与偶数进行异或运算会得到一个偶数。· 奇数与偶数进行异或运算会得到一个奇数。
因此当a、b、c三个数全为奇数或者全为偶数时得到的结果n一定是一个偶数。 当a、b、c中有两个为奇数时我们可以假设a、b为奇数那么n的结果为偶数奇数奇数偶数。 同样地当a、b、c中有两个为偶数时我们可以假设a、b为偶数那么n的结果为偶数奇数奇数偶数。 综上所述无论a、b、c取值如何都无法得到一个奇数。 因此当n为奇数时一定无解。而当n为偶数时我们可以取abn1c0这样就构成了一个满足题意的解
编码和调试技巧
变量定义 一看就明白变量名和函数名 方便自己理解 方便和别人交流数据结构静态数组就是一切 不用指针 用静态数组或者内置工具实现所有的数据结构
队列栈链表
数组范围和循环范围 数组范围 a[0] ~ a[n-1] a[1] ~ a[n]sort()范围 提高可读性逻辑功能的划分 时间充足的情况下 把一个单独的逻辑功能写成一个函数 只要能独立的功能尽量用函数单独实现没有明确终止的输入多组输入
while (cin n){do thing}
while (scanf(%d, n) ! EOF){do thing}
