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“探索减法和除法#xff1a;从具体操作到方程求解的数学思维”
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“探索减法和除法从具体操作到方程求解的数学思维”
谁如果给小孩子教过数学那一定会知道减法和除法并不像加法和乘法那样直接他们学习起来更困难一些。为了解释减法我们当然可以利用“拿走”的概念提这一类的问题“一开始有5个橘子吃掉2个还剩下几个”然而这并不总是思考减法的最佳方式。例如当我们用100减98时更好的想法不是从100中取走98而是考虑什么数加上98能够得到100。也就是说更有效的做法是求解方程98 x x x100尽管计算时字母 x x x并不常出现在我们的脑子里。类似地考虑除法也有两种方式。为了解释50 除以10的意义我们既可以问“50个东西分成相等的10组每组几个”也可以问“10个东西分一组50个东西能分几组”。第二种办法等于在问“10和几相乘能够得到50”也就等于解方程10 x x x50。
“挑战与抽象解释减法和除法中的负数和分数概念”
向小孩解释减法和除法还有着更进一步的困难那就是这两种计算并非总能够进行。例如不可能从装有7个橘子的碗中拿走10个11颗弹珠不可能平均分给3个小孩。但成人却能够计算7减去10和11除以3分别得到-3和11/3。问题随之而来一3和11/3这样的数实际上存在吗如果存在它们又是什么呢
“抽象数系的拓展解释负数和分数作为数学运算的工具”
从抽象的角度看处理这个问题的方式类似于之前对于零的处理方式全都抛至脑后。关于-3我们只需要知道它和3相加等于0即可关于11/3只需知道它乘以3等于11即可。这就是它们的运算规则。再与之前的规则相结合我们就可以在更大的数系中进行算术运算。为什么我们希望照这样扩充数系呢原因就是这样得到的模型允许我们在其中求解xab和 a x ax axb 这样的方程无论a和b取何值——只要a在第二个方程中不为0。换句话说这样得到的模型中减法和除法总是能够进行的只要除数不为0。除数0的问题我们会在文章后面谈到。
“拓展数系的规则引入负数和分数的逆元与消去法则”
按照这样的路数我们只需再增加两条规则来扩充我们的数系一条给我们带来负数另一条给我们带来分数即我们所熟知的有理数。 A4 加法逆元对任意数a总存在一个数b使得ab0。 M4 乘法逆元对任意不为0的数a总存在一个数c使得ac1。 确定了这些规则后我们就可以将 -a和1/a分别看作A4中的b、M4中的c的代号。至于更一般的表达式p/q它表示p乘以1/q。 规则A4和M4还蕴含了另外两条规则即消去法则。 A5 加法消去律对任意三个数a、b和c若abac则bc。 M5 乘法消去律对任意三个数a、b和c若abac且a不为0,则bc。
“使用新规则证明分数加法的合理性寻找公分母和对分子的运算”
第一条可以通过在等式两端加上-a得到证明第二条可以通过在等式两端乘以1/a得到证明。应当注意A5和M5的地位与之前的那些规则是不同的一一这两条是之前规则的推论而不是我们向游戏中引入的新规则。 如果有人要加两个分数如2/5加3/7那么常用的方法是找出它们的公分母 2 5 3 7 14 35 15 35 29 35 \frac{2}{5}\frac{3}{7}\frac{14}{35}\frac{15}{35}\frac{29}{35} 5273351435153529 这种方法及类似方法的合理性可以用我们的新规则来证明。 例如 35 ∗ 14 35 35 ∗ { 14 ∗ 35 } ∗ 1 35 35*\frac{14}{35}35*\{14*35\}*\frac{1}{35} 35∗351435∗{14∗35}∗351 14 ∗ { 35 ∗ 1 35 } 14 ∗ 1 14 14*\{35*\frac{1}{35}\}14*114 14∗{35∗351}14∗114 又有 35 ∗ 2 5 ( 5 ∗ 7 ) ∗ ( 2 ∗ 1 5 ) ( 7 ∗ 5 ) ∗ { 1 5 ∗ 2 } 35*\frac{2}{5}(5*7)*(2*\frac{1}{5})(7*5)*\{\frac{1}{5}*2\} 35∗52(5∗7)∗(2∗51)(7∗5)∗{51∗2} { 7 ∗ { 5 ∗ 1 5 } } ∗ 2 ( 7 ∗ 1 ) ∗ 2 7 ∗ 2 14 \{7*\{5*\frac{1}{5}\}\}*2(7*1)*27*214 {7∗{5∗51}}∗2(7∗1)∗27∗214 于是由规则M5得到2/5和14/35是相等的正如我们在计算中所假设的那样。 类似地我们还可以论证关于负数的一些熟悉的事实。请大家自己练习从上述规则中推出 ( − 1 ) ∗ ( − 1 ) 1 (-1)*(-1)1 (−1)∗(−1)1它的推导和对 0 ∗ 0 0 0*00 0∗00的证明相当类似。
“负数的实在性与数学模型的应用范围解析人们对负数认知的差异”
为什么在很多人看来负数的实在性要低于正数呢大概因为对数量不多的物体的计数是人类的基本活动在这其中并不会用到负数。但这只不过意味着作模型的自然数系在某种特定场合下比较有用而扩充数系则不太用得上。但如果我们考虑温度、日期或者银行账户那负数就的确能够发挥作用了。只要扩充数系是逻辑自洽的——实际上也正是如此用它作为模型就没有任何害处。 把自然数系称作一种模型似乎有点奇怪。难道我们不是在切实地数数未涉及任何特定的理想化描述吗我们的确是那样数数的但数数的过程并非总是恰当的甚至会根本不可能。从数学的观点来看1 394 840 275 936 498 649 234 987这个数没有任何问题但如果我们连佛罗里达州的选票都数不过来就无法想象能确信自己拥有由1 394 840 275 936 498 649 234 987个东西组成的一堆。如果你将两堆落叶加到第三堆上得到的结果并不是三堆树叶而是一大堆树叶。倘若你刚观察过一场暴雨那正如维特根斯坦所说“‘你看到了多少水滴’这个问题的恰当答案是很多。并不是因为没有那么一个数字而是因为你根本不知道有多少”。
总结
在数学中减法和除法相对于加法和乘法更具挑战性。然而通过引入抽象的数学模型我们可以更好地理解和解释减法和除法的概念。减法可以通过解方程的方式来理解即找出与给定数相加得到零的数。类似地除法可以通过解方程的方式来理解即找出与给定数相乘得到另一个给定数的数。然而向孩子们解释减法和除法的困难之一是它们并不总是可行的操作例如从较小的数中减去较大的数或将一定数量的物品平均分给不等数量的人。为了解决这个问题我们引入了负数和分数这两个概念将它们视为数学运算的工具。负数和分数的引入扩展了数系并引入了新的规则如加法逆元和乘法逆元。通过这些规则和之前的规则的结合我们可以在更大的数系中进行算术运算并解决各种方程。负数和分数的实在性可能在人们的认知中低于正数这是因为负数在日常生活中的计数活动中并不常见。然而在涉及温度、日期、银行账户等方面负数和分数是非常有用的。只要扩充数系是逻辑自洽的将自然数系视为一种模型就是合理的因为在实际的计数过程中并不总是准确的或可能的。因此扩充数系作为数学模型没有任何害处反而可以提供更广泛的应用和解决更复杂的问题的能力。
